Hyperbolische Dynamik – Chaos in seiner reinsten Form.
Alles fließt – letzte Woche hatten wir schon Beispiele von chaotischen Flüssen.
Ein besonders ‘regelmäßiges’ Beispiel eines chaotischen Flusses ist der geodätische Fluß auf einer hyperbolischen Fläche. Sozusagen Chaos in seiner reinsten Form, wo man alles noch exakt mathematisch berechnen kann.
Der geodätische Fluß auf einer Fläche ist in Wirklichkeit kein Fluß auf der Fläche, sondern auf dem Phasenraum der Fläche, d.h. man nimmt die Geschwindigkeitsvektoren auf der Fläche, und diese fließen in die jeweils von ihnen selbst angegebene Richtung.
(Ohne Angabe der Vektoren wüßte der Fluß nie, in welche Richtung er den Geodäten folgen sollte: es gibt ja in jedem Punkt in jeder Richtung eine Geodäte.)
Der Einfachheit halber nimmt man nur Einheitsvektoren, d.h. Vektoren der Länge 1.
Zum Beispiel in der hyperbolische Ebene:
wenn wir auf der roten Geodäte sind und der Vektor in Richtung dieser Geodäte zeigt, dann ‘fließt’ der rote Vektor natürlich immer entlang der roten Geodäte.
Die beiden eingezeichneten Kreise sind sogenannte “Horosphären” durch die beiden “Endpunkte” der roten Geodäte. Auf den Horosphären sind jeweils Vektoren in Richtung des “Endpunktes” eingezeichnet.
Die blauen Vektoren rücken während des Flußes immer dichter zusammen.
Die grünen Vektoren dagegen entfernen sich während des Flusses immer weiter voneinander.
Wir haben also eine Richtung, die während des Flusses expandiert und eine Richtung, die während des Flusses kontrahiert. Die blauen Vektoren bilden die Stabile Mannigfaltigkeit, die grünen Vektoren die Instabile Mannigfaltigkeit des geodätischen Flusses.
In der hyperbolischen Ebene ist das noch ganz übersichtlich, aber wenn man wie in TvF 66 oder TvF 69 statt der hyperbolischen Ebene eine geschlossene hyperbolische Fläche nimmt
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und sich dann den Effekt des geodätischen Flusses auf dieser Fläche anschaut, wird das noch chaotischer als die Katzenabbildung letzte Woche.
Dann gibt es auch geschlossene Bahnen (d.h. Geodäten der hyperbolischen Ebene, deren Bild auf der rechten Fläche periodisch ist) und man bekommt ein ähnliches Bild wie den roten Orbit im Bild von Jos Leys:
Quelle: Jos Leys
(Natürlich sind beim geodätischen Fluß die stabilen/instabilen Mannigfaltigkeiten in jedem Punkt nur 1-dimensional, während sie in Leys’ Bild 2-dimensional sind. Tatsächlich gehört Leys’ Bild eigentlich zu einem Artikel über den modularen Fluß.)
Dieses Phänomen, also Expansion in einer Richtung, Kontraktion in einer anderen, bezeichnet man allgemein als hyperbolische Dynamik.
Katok und Hasselblatt schreiben in der Scholarpedia:
Among smooth dynamical systems, hyperbolic dynamics is characterized by the presence of expanding and contracting directions for the derivative. This is a situation where the differential alone provides strong local, semilocal or even global information about the dynamics. Indeed, under iteration the presence of these directions produces exponential relative behavior of orbits on some set, and this affords much insight into topological and measurable aspects of the orbit structure. This stretching and folding typically gives rise to complicated long-term behavior in these systems. The dynamics appears in many ways effectively random, even though these systems are completely deterministic. The theory of hyperbolic dynamical systems provides a rigorous mathematical foundation for this remarkable phenomenon known as deterministic chaos – the appearance of chaotic motions in purely deterministic dynamical systems. The cause for these motions is the instability of trajectories that is expressed in terms of the hyperbolicity conditions.
(Nebenbei bemerkt halte ich die Scholarpedia für ein sehr interessantes Projekt. In der Mathematik werden bisher nur Dynamische Systeme behandelt, aber die vorhandenen Artikel sind jedenfalls recht ausführlich.)
Wie gesagt, der geodätische Fluß einer hyperbolischen Fläche ist ein besonders regelmäßiges Beispiel für diese ‘hyperbolische Dynamik’.
Und er ist auch deshalb als Modell besonders geeignet, weil er sich mit einfachen Matrizen-Multiplikationen beschreiben läßt. Dazu nächste Woche.
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