Eine Veranschaulichung von 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … = 1/3.
Wir hatten vor einigen Monaten ja schon mal einen Beitrag über die
Visualisierung von
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + … =1 und 1/3 + 1/9 + 1/27 + … = 1/2
via Big Ideas.
Bei den Wiskundemeisjes gab es letzte Woche auch noch eine originelle Veranschaulichung der Summe
1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … = 1/3
bzw. eigentlich der äquivalenten Formel
3(1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + …) = 1.
Das Einheitsquadrat (mit Flächeninhalt 1) wird ausgefüllt durch:
– 3 Quadrate mit Flächeninhalt 1/4
– 3 Quadrate mit Flächeninhalt 1/16
– 3 Quadrate mit Flächeninhalt 1/64
– 3 Quadrate mit Flächeninhalt 1/256
usw.
Also ist 3(1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + …) = 1.
Statt mit Quadraten kann man das selbe auch mit Dreiecken machen: das große Dreieck soll Flächeninhalt 1 haben, die drei untersten Dreiecke haben dann Flächeninhalt 1/4, die nächsten 3 haben Flächeninhalt 1/16 usw.:
Es ist ja (auch in der Topologie) oft Geschmackssache, ob man lieber mit Dreiecken oder Quadraten arbeitet. Aber hier finde ich die Visualisierung mit Quadraten einfacher und unmittelbarer einleuchtend als mit Dreiecken.
(Off Topic: in der Topologie war es durchaus mal umstritten, ob man Singuläre Homologie mit Würfeln, d.h. höherdimensionalen Quadraten, oder besser mit Simplizes, d.h. höherdimensionalen Dreiecken, definiert. Die Ergebnisse sind in beiden Fällen dieselben, aber die Beweise natürlich nicht. Masseys bekanntes Lehrbuch von 1980 benutzte noch die Definition mit Würfeln, aber trotzdem haben sich die Simplizes überall durchgesetzt. Mit Würfeln ist die Definition von Produkten wie dem Cup-Produkt einfacher, für fast alle anderen Zwecke ist es aber wohl günstiger, mit Simplizes zu arbeiten. Das nur nebenbei.)
Die Reihe 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … hat sogar einen eigenen Wikipedia-Artikel. Dort wird auch erklärt, daß diese Reihe schon bei Archimedes Berechnung des Flächeninhalts unter einer Parabel vorkam.
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