Dicke und dünne Dreiecke.

In TvF 56 hatten wir mal über Geodäten geschrieben, kürzeste Verbindungskurven wie Geraden in der (euklidischen) Ebene oder Großkreise auf der Sphäre.

In der Ebene gibt es (anders als auf der Sphäre) nur eine kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Wie letzte Woche erwähnt, ist dies auf jeder Fläche mit Krümmung ≤ 0 der Fall. Der Grund dafür ist letztlich “Dreiecks-Vergleichssatz”, um den es heute gehen soll.

Dreiecksvergleich

Wie das Bild suggeriert, sind Dreiecke in positiv gekrümmten Räumen “dicker”, Dreiecke in negativ gekrümmten Räumen sind “dünner”.

(Das Bild ist vom Hong Kong Space Museum, die Einteilung open-closed (mathematisch korrekter wäre nichtkompakt-kompakt) bezieht sich auf kosmologische Modelle: positiv gekrümmte Räume sind immer kompakt, nach Bonnet-Myers.)

Was heißt “dicker ” oder “dünner”? Das kann man z.B. durch den Inkreisradius messen.
(Natürlich lassen sich nur Dreiecke sinnvoll vergleichen, die, bis auf ihre “Dicke”, eigentlich gleich groß sind, also die dieselben Seitenlängen haben.)

Den Inkreis von Dreiecken veranschaulicht noch einmal dieses kurze Video von Wolfram demonstrations Project:

Mit dem Inkreisradius bekommt man eine mathematische Definition von ‘dünneren bzw. dickeren Dreiecken’:
wenn man zwei Dreiecke mit denselben Seitenlängen hat, dann ist dasjenige mit dem größeren Inkreisradius das Dickere von beiden, das mit dem kleineren Inkreisradius ist das Dünnere.

In der euklidischen Geometrie weiß man nach dem Kongruenzsatz SSS, daß Dreiecke mit denselben Seitenlängen immer kongruent sein müssen, also gleich dick sind.
Interessanter wird es aber, wenn man euklidische Dreiecke mit Dreiecken auf der Sphäre oder in der hyperbolischen Ebene vergleicht:
Dreiecke auf der Sphäre sind immer dicker als Dreiecke (mit denselben Seitenlängen) in der euklidischen Ebene und Dreiecke in der hyperbolischen Ebene sind immer dünner als Dreiecke (mit denselben Seitenlängen) in der euklidischen Ebene.

https://www.learner.org/courses/mathilluminated/units/8/textbook/04.php

Letztlich liegt das am Dreiecke-Vergleichssatz: in einer (einfach zusammenhängenden) Fläche mit Krümmung ≤ K sind Dreiecke dünner als die Vergleichsdreiecke in einer Fläche mit Krümmung = K. (Vergleichsdreieck ist ein Dreieck mit denselben Seitenlängen. Nach dem Kongruenzsatz SSS ist das Vergleichsdreieck durch die Seitenlänge eindeutig bestimmt. Und ‘dünner’ heißt, wie gesagt, daß der Inkreisradius kleiner ist.)

Für K=0 heißt das: in einer Fläche mit Krümmung ≤ 0 sind Dreiecke dünner als die Vergleichsdreiecke in der euklidischen Ebene (denn diese ist ja eine Fläche mit Krümmung = 0).

Der Dreiecke-Vergleichssatz folgt aus dem Vergleichssatz von Rauch, den man anschaulich so formulieren kann: je negativer die Krümmung, desto schneller entfernen sich Geodäten voneinander.

Eindeutigkeit der kürzesten Verbindung

Mit dem Dreiecke-Vergleichssatz kann man dann leicht die letzte Woche erwähnte Eindeutigkeit von Geodäten (in einer einfach zusammenhängenden Fläche mit Krümmung ≤ 0) beweisen:

Gäbe es zwei (homotope) Geodäten in einer Fläche mit Krümmung ≤ 0, dann unterteilt man eine der beiden Geodäten, bekommt so ein Dreieck (d.h. der dritte Punkt des Dreiecks liegt auf einer der beiden Geodäten), und schaut sich das Vergleichsdreieck in der euklidischen Ebene an.
Die Summe der Längen zweier Seiten ist gleich der Länge der dritten Seite. Das selbe gilt dann für das Vergleichsdreieck in der euklidischen Ebene.
Damit muß das Vergleichs-Dreieck entartet sein (d.h. die Ecken liegen auf einer Geraden wie im Bild unten), denn für nicht-entartete euklidische Dreiecke ist ja nach Dreiecksungleichung die Summe der Längen zweier Seiten kgrößer als die Länge der dritten Seite.
Im Vergleichsdreieck liegt also der dritte Eckpunkt auf der Geraden durch die ersten beiden Punkte:

Im entarteten Dreieck ist der Inkreisradius 0. Wegen Krümmung ≤ 0 ist das ursprüngliche Dreieck dünner als das entartete Vergleichsdreieck. Also ist der Inkreisradius des ursprünglichen Dreiecks ebenfalls 0, das ursprüngliche Dreieck ist ebenfalls entartet. Das beweist, daß die die beiden Geodäten übereinstimmten.

In Flächen mit Krümmung ≤ 0 gibt es also keine stetigen Verformungen von Geodäten (mit festgehaltenen Endpunkten). Anders als bei positiv gekrümmten Flächen, wie der Sphäre, wo es unendlich viele Geodäten vom Nordpol zum Südpol gibt.

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