Wie im vorigen Beitrag geschrieben, ist am Mittwoch der Preprint von Hill-Hopkins-Ravenel zur Kervaire-Vermutung auf dem ArXiv erschienen.
Eine der Anwendungen, die sich daraus ergeben, ist die Klassifikation ‘exotischer Sphären’.

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Im ersten Semester oder schon in der Schule lernt man, daß es stetige Funktionen gibt, die nicht differenzierbar sind, z.B. die Betragsfuntion f(x)=IxI.
Andererseits läßt sich aber jede stetige Funktion durch eine beliebig kleine Änderung in eine differenzierbare Funktion “deformieren”, d.h. jede stetige Funktion ist homotop zu einer differenzierbaren. (Das ist allgemein bekannt, aber in der Literatur habe ich es nur an einer Stelle gefunden, nämlich als Hausaufgabe in Milnor’s bekanntem Buch “Topology from the differentiable viewpoint”.)

Eine Sphäre kann man bekanntlich durch Landkarten überdecken, so daß die “Koordinatenwechsel” zwischen den Karten stetig (und sogar differenzierbar) sind, vgl. TvF 10.

Wenn man die Sphäre mit Karten überdeckt hat, kann man (in lokalen Koordinaten) Differenzialrechnung treiben. Das soll natürlich koordinatenunabhängig sein, d.h. die Differenzierbarkeit einer Funktion soll nicht von der Karte abhängen. Man kann leicht beweisen, daß diese Unabhängigkeit dann zutrifft, wenn die “Koordinatenwechsel” differenzierbare Abbildungen sind. Ein solcher “Atlas” (Sammlung von Karten) mit differenzierbaren Koordinatenwechseln heißt Differentialstruktur.

In Analogie zu der Tatsache, daß sich jede stetige Funktion in eine differenzierbare Funktion deformieren läßt, würde man vielleicht erwarten, daß sich jeder Atlas (mit stetigen Koordinatenwechseln) in eine Differentialstruktur (d.h. einen Atlas mit differenzierbaren Koordinatenwechseln) deformieren läßt, und daß diese Differentialstruktur eindeutig ist.

Beides ist aber nicht der Fall.

Das erste Beispiel einer Mannigfaltigkeit, die keine Differentialstruktur zuläßt, wurde 1960 von Kervaire konstruiert, der Beweis benutzte die Arf-Kervaire-Invariante.

Die ersten Beispiele von unterschiedlichen Differentialstrukturen auf derselben Mannigfaltigkeit (nämlich auf der 7-dimensionalen Sphäre) waren 1956 von Milnor gefunden worden.

Es stellt sich dann natürlich die Frage, wieviele “exotische Sphären”, d.h. wieviele Differentialstrukturen auf der n-dimensionalen Sphäre es gibt. Diese Frage ist jetzt (als eine Folgerung der Kervaire-Vermutung) weitgehend beantwortet.

Kervaire-Milnor hatten in einer 1963 in “Annals of Mathematics” erschienenen Arbeit die Anzahl der exotischen Sphären fast berechnet, nämlich bis auf einen Faktor 1 oder 2, je nachdem ob die Kervaire-Vermutung richtig oder falsch ist.

Beispiele

Kervaire-Milnor’s Formeln für die Anzahl der n-dimensionalen exotischen Sphären hängen davon ab, welchen Rest n bei Division durch 4 hat.
Zum Beispiel ihre Formel für die Anzahl der 4k-1-dimensionalen exotischen Sphären ist:
2^2k-2(2^2k-1-1)B #(π_4k-1^s/im(J))
Dabei steht B für den Nenner von 4B_2k/k (B_2k ist die 2k-te Bernoulli-Zahl), #(π_4k-1^s/im(J) steht für die Anzahl der Elemente im Kokern des J-Homomorphismus.

Zum Beispiel für n=7, also k=2, gibt es 28 exotische 7-dimensionale Sphären. Das waren Milnors Beispiele von 1956, konstruiert als S³-Bündel über S⁴.
(S³-Bündel über S⁴ bekommt man durch Verkleben zweier trivialer S³-Bündel über D⁴ mittels einer Verklebeabbildung S³ –> Diff⁺(S⁴) ~ SO(4), diese Bündel werden also klassifiziert durch π₃SO(4)=Z², und man kann mit Morse-Theorie leicht zeigen, daß einige dieser Bündel homoöomorph zur S⁷ sind. Eine Berechnung der Pontrjagin-Zahlen zeigt, daß sie aber alle nicht diffeomorph sind.)
7 ist übrigens die kleinste Dimension, in der es exotische Sphären gibt, eine Liste der exotischen Sphären bis Dimension 20 findet sich im Wikipedia-Artikel. (Außerdem ist in Dimension 4 die Frage nach der Existenz exotischer Sphären noch völlig offen.)

Systematik

Der Zugang von Kervaire-Milnor zur Berechnung der Anzahl exotischer Sphären war folgender: die n-dimensionale Standard-Sphäre ist Rand des (n+1)-dimensionalen Kugel, also einer (n+1)-dimensionalen kontrahierbaren (und damit auch parallelisierbaren) Mannigfaltigkeit.
Es gibt dann zwei Möglichkeiten, warum eine (topologische) Sphäre nicht diffeomorph zur Standard-Sphäre sein kann:
– entweder ist sie kein Rand einer parallelisierbaren Mannigfaltigkeit
– oder sie ist zwar Rand einer parallelisierbaren, aber keiner kontrahierbaren Mannigfaltigkeit.

Die erste Möglichkeit führt zum oben erwähnten Faktor #(π_n^s/im(J)), falls es keine n+1-dimensionalen Mannigfaltigkeiten mit Kervaire-Invariante 1 gibt; andernfalls muß man die Anzahl mit 1/2 multiplizieren, bekommt also den Faktor 1/2#(π_n^s/im(J)).
(Über die Pontrjagin-Thom-Konstruktion kann man einer Sphäre nach Wahl einer ‘Rahmung’ eine Abbildung S^n+k–>S^k und damit ein Element in der stabilen Homotopiegruppe π_n^s zuordnen. Wegen der Wahl der Rahmung ist die Zuordnung nur eindeutig modulo im(J). Ränder parallelisierbarer Mannigfaltigkeiten geben das Nullelement in π_n^s.)

Für die zweite Möglichkeit benutzen Kervaire-Milnor dann Chirurgietheorie. Für n=4k-1 bekommt man die oben gegebene Formel 2^2k-2(2^2k-1-1)B. Für n=4k (außer eventuell n=4) oder n=4k+2 ist die Standard-n-Sphäre die einzige Sphäre, die Rand einer parallelisierbaren, aber keiner kontrahierbaren Mannigfaltigkeit ist.
Und für n=4k+1 beweisen Kervaire-Milnor, daß es neben der Standard-n-Sphäre höchstens noch eine weitere Sphäre geben kann, die Rand einer parallelisierbaren, aber keiner kontrahierbaren Mannigfaltigkeit ist. Und zwar kann es eine solche exotische 4k+1-Sphäre nur dann geben, wenn es keine 4k+2-Mannigfaltigkeit mit Kervaire-Invariante 1 gibt. Ob, bzw. für welche k, es diese exotische Sphäre tatsächlich gibt, blieb aber 45 Jahre offen.
Mit dem jetzt veröffentlichten Preprint von Hill-Hopkins-Ravenel weiß man nun, daß es diese exotische Sphäre in allen Dimensionen n=4k+1 außer für n=1, 5, 13, 29 und 61 (und eventuell n=125, diese Frage bleibt offen) gibt.
Damit kennt man also (außer in Dimension 125 und in Dimension 4) die genaue Anzahl exotischer Sphären.

Überblicksartikel und Originalarbeiten findet man auf Ranickis Webseite. Besonders leichte Lektüre ist Milnors 50 years ago: topology in the 50’s and 60’s.