Irrationalität

Heute auf dem arxiv: Geometrische Beweise der Irrationalität der Wurzeln aus 3,5,6 und 10.

Wenn eine ganze Zahl keine Quadratzahl ist, dann ist ihre Wurzel irrational – der Beweis ist natürlich allgemein bekannt und wurde (zumindest für die Wurzel aus 2) im Schulunterricht der 9. Klasse behandelt.

Tatsächlich gibt es für die Irrationalität der Wurzel aus 2 mindestens
17 verschiedene Beweise.

Der wohl bekannteste (neben dem Schulbeweis) ist folgender geometrischer Beweis von Tennenbaum:

Angenommen, die Wurzel aus 2 wäre rational, ließe sich also als (maximal gekürzter) Bruch a/b schreiben. Dann ist a²=2b². (Und weil der Bruch maximal gekürzt war, kann es keine kleineren ganzzahligen Lösungen von a²=2b².)
Das Bild oben zeigt ein Quadrat der Seitanlänge a, in dem zwei grüne Quadrate der Seitenlänge b eingezeichnet sind. a²=2b² bedeutet, daß die beiden grünen Quadrate zusammen denselben Flächeninhalt haben wie das große Quadrat.
Daraus folgt, daß das rote Quadrat den doppelten Flächeninhalt wie das blaue Quadrat haben muß. Nennen wir die Seitenlängen des roten bzw. blauen Quadrat c bzw. d, dann ist c²=2d². c/d ist also eine Darstellung der Wurzel aus 2 mit kleineren Zahlen als a/b. Weil a/b maximal gekürzt war, ist das aber nicht möglich.

Auf dem arxiv erschien heute die Arbeit “Irrationality from the Book” von Miller und Montague, wo mit ähnlichen geometrischen Argumenten die Irrationalität der Wurzeln aus 3,5,6 und 10 bewiesen wird.

Am einfachsten ist es für die Wurzel aus 3 – man nimmt einfach gleichseitige Dreiecke statt Quadraten:

Also, man nimmt an, Wurzel aus 3 ist ein maximal gekürzter Bruch a/b, d.h. a²=3b². Ein regelmäßiges Dreieck mit Seitenlänge a hat Flächeninhalt Ka². (Der genaue Wert von K spielt für den Beweis keine Rolle.) Die 3 kleinen Dreiecke haben jeweils Flächeninhalt Kb², ihre Summe ist also genau der Flächeninhalt des großen Dreiecks.
Daraus folgt, daß das weiße Dreiecke genau dreimal so großen Flächeninhalt wie jedes der pinken Dreiecke haben muß. Die Seitenlängen c und d der weißen bzw. pinken Dreiecke geben also eine Darstellung der Wurzel aus 3 als c/d mit kleineren Zahlen als a/b.

Ähnlich, wenn auch etwas komplizierter funktioniert der Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 5:

Die Autoren haben dann versucht, diese Methode zu verallgemeinern. Dies stößt aber, wie im letzten Abschnitt der Arbeit erläutert, auf grundsätzliche Probleme, so daß lediglich noch die Wurzeln aus 6 und 10 auf ähnliche Weise (durch Hinzufügen zusätzlicher Dreiecke zu den Beweisen für 3 bzw. 5) behandelt werden können.