Am 3.11.1859 war Riemanns Arbeit “Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe” bei der Berliner Akademie vorgetragen worden, bis heute ist die Vermutung unbewiesen.
Es geht um die Nullstellen der Zetafunktion (und letztlich um die Verteilung der Primzahlen). Die Zetafunktion hat ‘triviale’ Nullstellen -2,-4,-6,… und außerdem viele Nullstellen auf der Gerade 1/2+it (t reell), wie das folgende Video (wo der Graph des Betrages der Zetafunktion über der komplexen Zahlenebene aufgetragen wird) zeigt:
Die Riemann-Vermutung besagt, daß es darüber hinaus keine weiteren Nullstellen gibt.
Eigentlich ging es in Riemanns Arbeit (hier als pdf) um die Verteilung der Primzahlen:
In der That hat sich bei der von Gauss und Goldschmidt vorgenommenen und bis zu x = drei Millionen fortgesetzten Vergleichung von Li(x) mit der Anzahl der Primzahlen unter x diese Anzahl schon vom ersten Hunderttausend an stets kleiner als Li(x) ergeben, und zwar wächst die Differenz unter manchen Schwankungen allmählich mit x. Aber auch die von den periodischen Gliedern abhängige stellenweise Verdichtung und Verdünnung der Primzahlen hat schon bei den Zählungen die Aufmerksamkeit erregt, ohne dass jedoch hierin eine Gesetzmässigkeit bemerkt worden wäre. Bei einer etwaigen neuen Zählung würde es interessant sein, den Einfluss der einzelnen in dem Ausdrucke für die Dichtigkeit der Primzahlen enthaltenen periodischen Glieder zu verfolgen. Einen regelmässigeren Gang als F(x) würde die Function f(x) zeigen, welche sich schon im ersten Hundert sehr deutlich als mit Li(x) + log zeta(0) im Mittel übereinstimmend erkennen lässt.
Wenn korrekt, würde aus der Riemann-Vermutung die genauest-mögliche Abschätzung für die Anzahl von Primzahlen kleiner x folgen:
Die Anzahl der Primzahlen kleiner x ist näherungsweise das Integral über 1/ln(t) von t=2 bis t=x. Aus der Riemann-Vermutung würde folgen, daß der Fehler dieser Näherungsformel höchstens x1/2ln(x)/8π ist (für x größer als 2657). Wie Schoenfeld 1976 bewiesen
hat, ist dies die bestmögliche Ungleichung für den Fehler der Näherungsformel.
Auf dem arxiv erscheinen alle paar Monate angebliche Beweise der Riemann-Vermutung, die von den Betreibern fast immer in die Kategorie ‘Allgemeine Mathematik’ (sozusagen die Müllkippe des arxiv) einsortiert werden. Auch wenn viele Analogien zur Riemann-Vermutung in scheinbar komplizierteren Zusammenhängen (z.B. die Weil-Vermutungen) inzwischen bewiesen sind, ist die Riemann-Vermutung immer noch ein offenes Problem.
Am 18.11. werden weltweit an mathematischen Instituten Vorträge zur Riemann-Vermutung stattfinden. (Die Wahl des Datums erschließt sich mir nicht. Riemann hatte seine Arbeit am 19.10. eingereicht und sie wurde, wie gesagt, am 3.11. in der Akademie vorgestellt.)
In der Fernsehserie “Story of Maths” gibt es eine Episode über Riemann (4 Minuten), es geht allerdings mehr um seine Thesen zur Geometrie als um Primzahlen (die Jahreszahl im Video ist übrigens nicht ganz korrekt, Riemanns Vortrag zu den Grundlagen der Geometrie fand 1854 statt).
Und schließlich noch eine musikalische Verarbeitung der Geschichte der Riemann-Vermutung:
Kommentare (9)