Funktionen und Symmetrien.
Flächen lassen sich geometrisieren, in regelmäßige Form bringen.
Flächen mit mindestens zwei Henkeln erhält man durch bestimmte Symmetrien der hyperbolischen Ebene (TvF 66):
| ====> |
Quelle: Mathworld
Ähnlich erhält man einen flachen Torus durch zwei Translationssymmetrien der Ebene (TvF 63).
Viele innermathematische Anwendungen von hyperbolischen oder flachen Metriken hatten wir hier schon (cf. TvF 89).
Eine weitere naheliegende Anwendung (oder eher eine Hilfe zur Veranschaulichung mathematischer Funktionen) ist, daß man Funktionen mit bestimmten Symmetrieeigenschaften mittels geometrischer Flächen veranschaulichen kann.
Z.B. sind doppelt-periodische Funktionen gerade Funktionen auf einem flachen Torus oder Modulfunktionen sind gerade Funktionen auf der “Modulkurve”, d.i. der in TvF 91 besprochenen hyperbolischen Fläche.
Doppelt-periodische Funktionen
Doppelt-periodische Funktionen sind Funktionen in zwei Variablen, die zwei unabhängige Perioden u und v haben, z.B. hat sin(x)sin(y) die Perioden u=(2π,0) und v=(0,2π). Wenn L das von den beiden Perioden u,v erzeugte Gitter ist, dann ist die doppelt periodische Funktion gerade eine Funktion auf dem Torus R2/L=C/L.
Man kann doppelt-periodische Funktionen also veranschaulichen als Funktionen auf dem Torus. (Wegen des Zusammenhangs mit elliptischen Kurven werden doppelt-periodische Funktionen auch als elliptische Funktionen bezeichnet.)
Wenn man sich nur für komplex-differenzierbare doppelt-periodische Funktionen interessiert (das schließt z.B. sin(x)sin(y) aus, was zwar reell differenzierbar, aber nicht komplex differenzierbar ist), hat man eine einfache Beschreibung aller komplex-differenzierbaren doppelt-periodischen Funktionen:
zu zwei gegebenen Perioden u,v: sei p(z) die Weierstraß’sche p-Funktion des von den beiden Perioden u,v erzeugten Gitters L.
Dann ist jede komplex-differenzierbare doppelt-periodische Funktion (mit den beiden gegebenen Perioden u,v) eine rationale Funktion von p(z) und p'(z) .
(D.h. entsteht aus p(z) und p'(z) durch Anwendung der 4 Grundrechenarten.)
Modulfunktionen
Eine ähnliche Klassifikation hat man auch für Modulfunktionen, also Funktionen f auf der hyperbolischen Ebene, die die Gleichung f(Az)=f(z) für alle Matrizen A aus SL(2,Z) erfüllen.
Ein Beispiel dafür war ja die j-Funktion (gelegentlich auch bezeichnet als Klein’sche Modulfunktion), die bei der Klassifikation elliptischer Kurven eine Rolle spielte und deren SL(2,Z)-Invarianz man am unten abgebildeten Graphen gut erkennt:
Modulfunktionen kann man veranschaulichen als Funktionen auf der der in TvF 91 besprochenen hyperbolischen Fläche H2/SL(2,Z).
Eine Klassifikation aller (komplex-differenzierbaren) Modulfunktionen liefert der Satz: Jede komplex-differenzierbare Modulfunktion ist eine rationale Funktion der j-Funktion.
Modulfunktionen werden oft in der Zahlentheorie verwendet und spielten z.B. eine Rolle bei Wiles’ Beweis der Fermat-Vermutung.
Die, ähem, ‘wissenschafts-skeptische’ Conservapedia schreibt dazu:
In a series of lectures in 1993, mathematician Andrew Wiles announced a proof using techniques in algebraic geometry, relying on the nonconstructive Axiom of Choice.[5] A flaw was found before publication, and Wiles spent a year on fixing the flaw. Then, in September 1994, he and Richard Taylor announced a new version of the proof. However, criticism does continue on the internet.[5] Further criticism came from Marilyn vos Savant, known for her very high IQ and commentary on mathematics, in her column and book.[6][7] She questioned the use of Non-Euclidean geometry and the Axiom of Choice, among other points. She retracted her argument in a 1995 addendum to the book.
Zumindest was die Verwendung hyperbolischer Geometrie angeht hat man dort wohl etwas falsch verstanden. Die Richtigkeit der Fermat-Vermutung hängt nicht davon ab, welche Struktur der Raum hat. Hyperbolische Geometrie ist im Beweis nur ein (im Prinzip verzichtbares) Hilfsmittel zur Veranschaulichung modularer Funktionen.
Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98
Kommentare (1)