Knoten und/oder 3-dimensionale Räume mit dem Computer – dafür gab es bisher “SnapPea”, entwickelt 1985 von Thurston’s damaligem Doktoranden Jeff Weeks. Im August haben Marc Culler und Nathan Dunfield “SnapPy” herausgebracht, eine erweiterte Version von SnapPea, die besser mit Python kompatibel ist. Seit heute gibt es Version 1.1.

SnapPy is a user interface to the SnapPea kernel which runs on Mac OS X, Linux, and Windows. SnapPy combines a link editor and 3D-graphics for Dirichlet domains and cusp neighborhoods with a powerful command-line interface based on the Python programming language.

(Das Programm ist Teil ihrer “Topology Software”, zu der auch noch verschiedene Grafik-Programme und z.B. John Berge’s “Heegard” gehören.)

SnapPy zum Download findet sich hier.

Es gibt eine ausführliche
Dokumentation, man kann sich aber auch einfach folgendes Video ansehen:
(das 1. Video dauert 7 Minuten, im 2. (4 Minuten) geht es um speziellere Themen wie Dirichlet-Gebiete und Horobälle.)

Im 1. Video sieht man, wie für das Achterknoten-Komplement Invarianten wie Volumen, Fundamentalgruppe, Homologie ausgerechnet werden und die Berechnung der Dehn-Chirurgien.

Um den Artikel nicht zu lang werden zu lassen, verlagere ich die Erläuterungen zum mathematischen Hintergrund des Programms in einen extra Artikel: SnapPy – zum mathematischen Hintergrund. Dort also die Erklärungen, wie 3-Mannigfaltigkeiten konstruiert werden (nämlich durch Dehn-Chirurgie an Links), wie die Fundamentalgruppe angegeben wird und wie das Volumen und die Chern-Simmons-Invariante berechnet werden.

Im Video werden die Funktionen am Beispiel des Achterknoten-Komplements vorgestellt, ich habe unten noch mal als Beispiel die Weeks-Mannigfaltigkeit gerechnet.

“SnapPy” unterscheidet sich von “SnapPea” vor allem durch aufwändigere Grafikprogramme.

3-Mannigfaltigkeiten werden in der Regel durch Dehn-Chirurgie an Links angegeben. (Siehe den Hintergrund-Artikel.) Die Knoten und Links können entweder mit der Maus gezeichnet oder nach Rolfsen’s Tabelle angegeben werden. Außerdem gibt es noch ein paar spezielle Listen, z.B. “once-punctured torus bundles”.(Hier muß einfach die Monodromie in SL(2,Z) als Produkt aus den beiden Erzeugern L und R angegeben werden.)

Das im Video gerechnete Achterknotenkomplement ist übrigens auch ein “once-punctured torus bundle” und außerdem unter den “1-cusped manifolds” diejenige mit dem kleinst-möglichen hyperbolischen Volumen. Als ein anderes Beispiel hier noch die Weeks-Mannigfaltigkeit.

Beispiel: Weeks-Mannigfaltigkeit

Spamguy mit KnotPlot

Die Weeks-Mannigfaltigkeit erhält man durch (5,1)- und (5,2)-Dehn-Chirurgie an den beiden Komponenten des oben abgebildeten Whitehead-Link. Gabai-Meyerhoff-Milley haben in einer Arbeit (in der vorletzten Ausgabe des JAMS) bewiesen, daß die Weeks-Mannigfaltigkeit die orientierbare hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit mit dem kleinsten Volumen ist. Die Weeks-Mannigfaltigkeit ist also sozusagen die einfachste hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit.
Man kann sie natürlich durch Zeichnen des Whitehead-Links (oder dessen Nummer in der Rolfsen-Tabelle) und anschließendes Angeben der Dehn-Chirurgie-Koeffizienten eingeben, aber es geht auch einfacher mit
M=OrientableClosedCensus()[0]
(Die Nummer 0 im Census verdankt sie offensichtlich der Rolle als Mannigfaltigkeit kleinsten Volumens.) Dann kann man diverse Invarianten berechnen:

Das Grafik-Programm für das Dirichlet-Domain will auf meinem Rechner nicht laufen. Es sollte eigentlich laufen wie im Beispiel des Achterknotenkomplements aus Dunfield’s Video, das ich unten in den screenshot montiert habe:

Es ist, nebenbei bemerkt, erheblich einfacher das Programm unter Windows zu installieren. Unter Linux braucht man eigentlich Administrator-Rechte bzw. muß (wenn man diese nicht hat) irgendwelche komplizierten Dinge tun.

Version 1.1

SnapPy 1.0.1. war im August herausgekommen, nach Version 1.0.2. und 1.0.3. gibt es seit heute Version 1.1. Die neuen Features von Version 1.1 sind ein besserer Algorithmus für Chern-Simons-Invarianten (ein Algorithmus von Christian Zickert implementiert durch Matthias Görner), ein neuer Census (von Thistlethwaite) mit 200.000 neuen Mannigfaltigkeiten, nämlich Links mit 14 Kreuzungen und 3-Mannigfaltigkeiten aus 8 idealen Tetraedern, und einige ‘general improvements’.