Quantenchaos.

Letzte Woche hatten wir über “Quantum Unique Ergodicity” geschrieben. Es ging um die Verteilung von Hochfrequenz-Zuständen. Das läuft oft unter dem Schlagwort “Quantenchaos”.
Warum Quantenchaos? Was ist der Zusammenhang mit Chaos?

Chaos

“Chaos” bedeutet klassisch: kleine Änderungen der Anfangsbedingungen können zu einer qualitativen Veränderung der weiteren Entwicklung des Systems führen. Populäres Beispiel sind Lorenz’ Wettermodelle. (Das Gegenteil von Chaos ist Integrabilität, wenn es neben der Energie noch viele weitere Erhaltungsgrößen gibt.) Ein anderes populäres Beispiel, ist die “cat map” (Bild rechts von Claudio Rocchini), über die wir in TvF 73 geschrieben hatten. Wie man sieht, werden die Pixel der Katze durch den Fluß gleichmäßig im Raum verteilt. Ein anderes, besonders ‘regelmäßiges’, Beispiel von Chaos hatten wir in TvF 74 beschrieben: den geodätischen Fluß auf einer hyperbolischen Fläche.

Billards

Ein klassisches mechanisches System ist z.B. der Lauf der Kugel auf einem Billardtisch. Ob dieses System chaotisch oder integrabel ist hängt von der Form des Billardtisches ab: auf einem kreisförmigen Billardtisch ist die Bewegung integrabel, auf einem stadionförmigen Billardtisch ist sie chaotisch.

Andererseits weiß man, daß auch Eigenwerte des Laplace-Operators (die “Frequenz von Wellen”) von der Geometrie der Fläche (z.B. des Billardtisches) abhängen: das ist der Satz von Weyl.

Nicht nur die Eigenwerte, sondern auch die Dichten der “Hochfrequenz-Zustände” (d.h. der Eigenfunktionen zu großen Eigenwerten des Laplace-Operators) hängen von der Geometrie ab. Einige Beispiele zeigt der Artikel von Sarnak:

Für den runden Billardtisch (auf dem die Bewegung der Billardkugel integrabel ist) sind die Dichten der “Hochfrequenz-Zustände” nicht gleichmäßig verteilt.
Für den stadionförmigen Billardtisch (auf dem die Bewegung der Billardkugel chaotisch ist)
sind die Dichten der “Hochfrequenz-Zustände” gleichmäßiger verteilt.

Also: chaotische Dynamik –> gleichmäßige Verteilung der Dichten der “Hochfrequenz-Zustände” ?

Hyperbolische Flächen

In TvF 74 hatten wir veranschaulicht, daß der geodätische Fluß auf einer hyperbolischen Fläche chaotisch ist.
In Analogie zu den Billards hatte man vermutet, daß dann auf hyperbolischen Flächen ebenfalls die Dichten der “Hochfrequenz-Zustände” gleichmäßig verteilt sind. Das ist die “Quantum Unique Ergodicity”-Vermutung, über die wir letzte Woche geschrieben hatten:
Quanten Eindeutige Ergodizität für negativ gekrümmte Flächen: wenn der geodätische Fluß ergodisch ist, sind die Eigenfunktionen zu großen Eigenwerten nahezu gleichverteilt.

Die Vermutung wurde (für geschlossene “arithmetische” hyperbolische Flächen) von Lindenstrauss und (für die Modulfläche H²/SL(2,Z)) von Soundararajan bewiesen.

© F.Strömberg

Allgemein, wenn eine geschlossene Mannigfaltigkeit negative Krümmung hat, ist der geodätische Fluß “ergodisch” (d.h. chaotisch) und man erwartet deshalb, daß die Dichten der “Hochfrequenz-Zustände” gleichmäßig verteilt sind. Das ist eine bekannte Vermutung von Rudnick-Sarnak, für die starke numerische Evidenz vorliegt, die aber außer für Flächen nur in wenigen speziellen Fällen bewiesen ist.

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