Quadratische Gleichungen und hyperbolische Geometrie.

Letzte Woche hatten wir darüber geschrieben, welche Primzahlen sich als Summe zweier Quadratzahlen schreiben lassen, also welche Primzahlen p von der Form

p=x²+y²

mit ganzen Zahlen x,y sind.
(Mit 2-dimensionaler hyperbolischer Geometrie hatte das nur insoweit zu tun, daß sich die Antwort aus einer Gleichung zwischen Modulformen herleiten läßt, s. Teil 107.)

Quadratische Funktionen und ganze Zahlen

Analog kann man natürlich auch fragen, welche Zahlen sich als x²-y² oder x²+3y² oder x²+2xy+3y² oder … mit ganzen Zahlen x,y schreiben lassen.

Also, allgemein formuliert:

man hat eine quadratische Funktion

Q(x,y)=px²+2qxy+ry²

(mit gegebenen ganzen Zahlen p,q,r) und man fragt, welche natürlichen Zahlen man als Werte von Q(x,y) für ganze Zahlen x,y bekommen kann.

Gauß’ Reduktionstheorie

Diese Frage wurde von Gauß in Kapitel 5 des Klassikers Disquisitiones Arithmeticae behandelt.

Der Ansatz ist, eine Liste von relativ einfachen quadratischen Funktionen zu finden, auf die sich alle anderen ‘reduzieren’ lassen.

Beispiel: Q(x,y)= 5x²+6xy+2y²
Hier läßt sich die Frage nach der Darstellbarkeit natürlicher Zahlen leicht beantworten, indem man sie auf den in TvF 107 behandelten 2-Quadrate-Satz zurückführt:
es ist nämlich

Q(x,y) = 5x² + 6xy + 2y² = (2x+y)² + (x+y)²,

jede durch Q darstellbare Zahl läßt sich also als Summe zweier Quadrate schreiben.
Umgekehrt kann man nachrechnen, daß

x² + y² = Q(x-y,-x+2y),

jede Summe zweier Quadrate ist also auch darstellbar durch Q(x,y).
Zusammengefaßt: eine Zahl ist darstellbar durch Q(x,y) genau dann, wenn sie im Wertebereich von x²+y² ist. (Und letzteren kennen wir aus TvF 107: 1,2,4,5,8,9,10,13,17,18,20,25,…).

Man hat hier also die Frage, welche Zahlen sich als 5x²+6xy+2y² darstellen lassen auf die einfachere (oder jedenfalls schon beantwortete) Frage ‘reduziert’, welche Zahlen sich als x²+y² darstellen lassen.

Abstrakt hat man folgendes gemacht: statt der quadratischen Funktion Q(x,y) hat man die quadratische Funktion P(x,y)=Q(ax+by,cx+dy) (im Beispiel mit a=2,b=c=d=1) betrachtet. Jede als P(x,y) darstellbare Zahl ist auch als Q(x,y) darstellbar.
Umgekehrt: wenn ad-bc=1, dann ist P(dx-by,-cx+ay)=Q(x,y) und jede als Q(x,y) darstellbare Zahl ist auch als P(x,y) darstellbar.
Man hat die Frage, ob sich eine bestimmte Zahl als Q(x,y) darstellen läßt, also auf die Frage reduziert, ob sich diese Zahl als P(x,y) darstellen läßt.

Nun läßt sich natürlich nicht jedes Q(x,y) wie im Beispiel auf x²+y² ‘reduzieren’, aber jedenfalls beweist Gauß, daß es zu jedem möglichen Wert der ‘Determinante’ D=q²-4pr eine endliche Liste quadratischer Funktionen gibt, auf die sich jede quadratische Funktion Q(x,y)=px²+qbxy+ry² ‘reduzieren’ läßt.

(Und diese endliche Liste bearbeitet er dann mit unterschiedlichen Methoden, z.B. beweist er, daß man durch Q(x,y)=x²+2y² Primzahlen der Form 8n+1 und 8n+3 oder durch Q(x,y)=x²+3y² Primzahlen der Form 3n+1 darstellen lassen.)

SL(2,Z) und quadratische Funktionen

Was kann diese Theorie quadratischer Funktionen mit (2-dimensionaler) hyperbolischer Geometrie zu tun haben?

Zunächst hat man hier eine Wirkung der Gruppe SL(2,Z) auf der Menge der quadratischen Funktionen. SL(2,Z) ist die Gruppe der Matrizen

mit ganzzahligen Einträgen a,b,c,d und Determinante 1 (d.h. ad – bc = 1). Die Matrix mit Einträgen a,b,c,d bildet Q(x,y) auf Q(ax+by,cx+dy) ab. (Und man kann nachrechnen, daß die umgekehrte Substitution P(dx-by,-cx+ay)=Q(x,y) gerade der Anwendung der inversen Matrix entspricht. Hier braucht man, daß die Determinante 1 ist.)

Anwendung einer Matrix aus SL(2,Z) gibt also eine ‘äquivalente’ quadratische Funktion wie oben beschrieben (d.h. eine quadratische Funktion mit demselben Wertebereich), insbesondere bekommt man die ‘reduzierte’ quadratische Funktion durch Anwendung einer bestimmten Matrix.

SL(2,Z) und die hyperbolische Ebene

Andererseits wirkt SL(2,Z) auf der hyperbolischen Ebene, wie in TvF 90 beschrieben:

Insbesondere wirken hyperbolische Isometrien, wie in TvF 57 beschrieben wie ‘Translationen’ entlang einer Achse: es gibt (auf dem Rand) einen abstoßenden Fixpunkt und einen anziehenden Fixpunkt, jeder Punkt bewegt sich vom abstoßenden Fixpunkt weg in Richtung des anziehenden Fixpunkts.

Das Bild von C.Robles zeigt das Poincaré-Modell (TvF 55), im Halbebenenmodell (oberes Bild) entsprechen die Fixpunkte reellen Zahlen.

Zusammenhang von Reduktionstheorie und hyperbolischer Geometrie

Im folgenden betrachten wir nur quadratische Formen px²+2qxy+ry² mit q²-4pr >0. Für diese gibt es bekanntlich zwei reelle Nullstellen. Diese beiden reellen Nullstellen fassen wir nun auf als Punkte im Rand der hyperbolischen Ebene auf. Es gibt eine Geodäte (‘Achse’), die diese beiden Punkte verbindet. Und man kann zeigen, daß es eine hyperbolische Matrix U in SL(2,Z) gibt, die diese Geodäte als Achse hat. (“This is not immediately obvious and rather delicate, see Exercise 38” in Svetlana Katok: “Continued Fractions, Hyperbolic Geometry and Quadratic Forms”.) Man bekommt also eine ‘Korrespondenz’ (Entsprechung, Übersetzung) zwischen quadratischen Funktionen (mit q²-4pr >0) und hyperbolischen Matrizen in SL(2,Z).

Eine hyperbolische Matrix hat zwei Fixpunte (die Endpunte der geodätischen Achse): den abstoßenden Fixpunkt F^– und den anziehenden Fixpunkt F⁺.

Man kann dann beweisen: Gauß’ ‘reduzierte’ Formen entsprechen gerade den hyperbolischen Matrizen, für die F⁺ größer 1 und F^– zwischen 0 und 1 ist.

Und es gibt einen Algorithmus (S.41/42 im zitierten Buch), der für eine gegebene Matrix die ‘reduzierte’ Matrix findet. (Was sich dann eben übersetzen läßt in einen Algorithmus, der für die quadratische Gleichung die ‘reduzierte’ Form findet.)

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108