Knoten im Lorenz-Attraktor.
| Ein Attraktor einer Differentialgleichung (d.h. eines Flußes auf einem Phasenraum) ist eine Teilmenge des Phasenraums mit der Eigenschaft, daß Punkte aus einer Umgebung des Attraktors sich (im Verlaufe des Flußes) dem Attraktor annähern. Ein besonders einfaches Beispiel zeigt das Bild rechts: der Attraktor besteht aus nur einem Punkt (dem stabilen Gleichgewichtspunkt), jeder Punkt aus einer Umgebung wird im Laufe der Zeit gegen den stabilen Gleichgewichtspunkt konvergieren. |
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| Chaotische Differentialgleichungen zeichnen sich dadurch aus, daß ihre Attraktoren komplizierte Fraktale sind. Zum Beispiel zeigt das Bild rechts den Attraktor der Lorenz-Gleichungen
x’=-10x+10y y’=28x-y-xz z’=-8z/3+xy Diese Gleichungen sind ein Modell für themische Konvektion. (Allerdings ein sehr vereinfachtes, dessen Lösungen für den wirklichen Konvektionsprozeß keine Relevanz mehr haben.) |
Es gibt im Lorenz-Attraktor viele periodische Orbits, die z.T. auf komplizierte Weise verknotet sind:
(Man erkennt die Sensitivität bzgl. der Anfangsbedingungen: durch eine kleine Störung landet man auf einem völlig anderen Knoten.)
Welche topologischen Typen von Knoten kommen im Lorenz-Attraktor vor? Diese Frage untersuchten Joan Birman und Robert Williams in der 1983 in Topology veröffentlichten Arbeit Knotted periodic orbits in dynamical systems I :Lorenz’s equation. (Einen aktuellen Vortrag von Joan Birman findet man hier.)
Zum Beispiel kommen unverknotete Orbits vor, oder auch Kleeblattschlingen oder Torusknoten oder kompliziertere Beispiele wie z.B. der (-3,-7,2)-Brezelknoten:
Es kommen aber bei weitem nicht alle Typen von Knoten vor, z.B. sind Knoten im Lorenz-Attraktor immer unzerlegbar und ihr Komplement läßt sich durch Flächen fasern. ‘Statistisch gesehen’ sind die Lorenz-Knoten (d.h. die Knoten-Typen der im Lorenz-Attraktor vorkommenden periodischen Orbits) nur ein kleiner Teil aller Knoten. Z.B. gibt es 1701936 Knoten, die eine ebene Projektion mit höchstens 16 Überkreuzungen haben, und von diesen sind nur 20 Lorenz-Knoten.
Knoten mit wenigen Überkreuzungen sind in gewisser Weise ‘untypisch’, z.B. sind sie selten hyperbolisch, während man seit Thurston weiß, daß die ‘meisten’ komplizierten Knoten hyperbolisch sind. Interesanterweise haben nun Birman und Kofman in einer 2009 im ‘Journal of Topology’ veröffentlichten Arbeit gezeigt, daß mehr als die Hälfte der hyperbolischen Knoten von kleinem Volumen Lorenz-Knoten sind. (Genauer: unter den 201 Knoten kleinsten Volumens sind 107 Lorenz-Knoten.) Im verlinkten Vortrag wird auf S.26-32 erklärt, warum so viele hyperbolische Knoten Lorenz-Knoten sind.
Um hier wieder auf das eigentliche Thema (Geometrisierung von Flächen, speziell hyperbolische Geometrie) zurückzukommen: die Lorenzknoten kommen auch vor als periodische Flußlinien des gedätischen Flusses auf der Modulfläche, dazu nächste Woche.
Quellen:
Lorenz: Deterministic nonperiodic flow
Birman-Williams: Knotted periodic orbits in dynamical systems
Birman, Kofman: A new twist on Lorenz links
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