Verschlingungen im Lorenz-Attraktor

Vor 2 Wochen hatten wir über Knoten im Lorenz-Attraktor geschrieben.

Die Kleeblattschlinge kommt offensichtlich als Knoten im Lorenz-Attraktor vor (violett):

Jos Leys

Knoten im Lorenz-Attraktor sind immer “modulare Knoten” (TvF 117), also periodische Flußlinien des modularen Flußes (d.i. der geodätische Fluß bzgl. der hyperbolischen Metrik der Modulfläche – das Komplement der Kleeblattschlinge ist ja das Einheitstangentialbündel der Modulfläche, s. TvF 112).

Wozu ist das nützlich? Eine Anwendung ist die Berechnung der Verschlingungszahlen von Knoten im Lorenz-Attraktor.

Periodische Flußlinien und Matrizen

In TvF 75 hatten wir mal beschrieben, daß der geodätische Fluß auf (dem Einheitstangentialbündel) der hyperbolischen Ebene der Wirkung der Matrizen

entspricht. (Die Matrizen wirken auf der hyperbolischen Ebene, indem sie x+iy auf e^tx+ie^-ty abbilden.)
Entsprechend wirken diese Matrizen dann auf hyperbolischen Flächen, die von der hyperbolischen Ebene überlagert werden (und auf deren Eineitstangentialbündel). Insbesondere auf der Modulfläche.

Speziell für die Modulfläche H²/SL(2,Z) sind die periodischen Flußlinien diejenigen, die durch Multiplikation mit (Potenzen von) Matrizen aus SL(2,Z) entstehen., denn Multiplikation mit einer Matrix in SL(2,Z) gibt ja denselben Punkt in H²/SL(2,Z).

Jede Matrix aus SL(2,Z) liefert also einen modularen Knoten und damit auch einen Knoten im Lorenz-Attraktor. Einige Beispiele zeigt das Bild unten (von Jos Leys):

https://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-lorenz

Verschlingungszahlen

Das Bild oben suggeriert, daß komplizierte Matrizen zu Knoten führen, die die Kleeblattschlinge häufiger “umschlingen”.

Wie oft ein Knoten die Kleeblattschlinge umschlingt, wird durch die Verschlingungszahl gemessen, deren genaue Definition wir letzte Woche besprochen hatten:
die Verschlingungszahl war einfach die Anzahl, wie oft der hellgrüne Knoten die unten abgebildete “Seifertfläche” der Kleeblattschlinge schneidet. (Dabei mußte man noch aufpassen, daß ggf. beim ‘Rückwärtslaufen’ die Schnittpunkte negativ gezählt werden.)

Nachdem man die Knoten im Lorenz-Attraktor durch Matrizen A beschrieben hat, ergibt sich dann tatsächlich eine einfache Formel für die Verschlingungszahl mit der Kleeblattschlinge k:
wenn ein Knoten k_A durch die Matrix A gegeben ist, dann ist Verschlingungszahl von k und k_A gleich der Rademacher-Funktion von A.

Die Rademacher-Funktion ist eine Funktion von Matrizen, also eine Funktion R:SL(2,Z)–>Z, die in vielen Zusammenhängen vorkommt und viele verschiedene (natürlich äquivalente) Definitionen hat.
Die einfachste Definition ist: jede 2×2-Matrix A kann als Produkt aus oberen und unteren Dreiecksmatrizen geschrieben werden und R(A) ist dann die Summe der (rechts oben) Einträge der oberen Dreiecksmatrizen minus der Summe der (links unten) Einträge der unteren Dreiecksmatrizen.
Eine andere Definition ist, R(A) zu definieren als die Monodromie der Dedekind-η-Funktion (TvF 100). Es gibt auch verschiedene topologische Definitionen der Rademacher-Funktion. (Eine Arbeit von Atiyah gibt 7 verschiedene Definitionen.)
Entsprechend den verschiedenen Definitionen hat Ghys in Kapitel 3 von “Knots and Dynamics” verschiedene Beweise dafür gegeben, daß die Verschlingungszahl von k und k_A gleich der Rademacher-Funktion von A ist.

Die Zerlegung einer ganzahligen 2×2-Matrix in obere und untere Dreiecksmatrizen (und damit dann auch die Rademacher-Funktion) kann man leicht mit dem Euklidischen Algorithmus berechnen.
Für das erste Beispiel (im screenshot links oben) bekommt man z.B. als Verschlingungszahl 2-3=-1.

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