Topologie von Flächen CXXII

Torusknoten und Singularitäten komplexer Hyperflächen


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Vor zwei Wochen hatten wir darüber geschrieben, wie man das Komplement der Kleeblattschlinge durch Flächen fasern kann, und wir hatten erwähnt, daß dies eine spezielle Anwendung allgemeiner Sätze aus der Singularitätentheorie ist.

Letzte Woche hatten wir über Singularitäten reeller Funktionen geschrieben. Diesmal, für die Knotentheorie, braucht man aber Singularitätentheorie komplexer Funktionen.

Singularitäten sind kritische Punkte von Funktionen, d.h. die Ableitung soll 0 sein. Zum Beispiel, die Funktion f(z,w)=z^p+w^q hat eine Singularität in (0,0) wenn p und q ganze Zahlen und größer als 1 sind.

Die Kleeblattschlinge war der durch die Gleichung z²+w³=0 gegebene Knoten in der 3-Sphäre IzI²+IwI²=1.

In C² beschreibt die Gleichung z²+w³=0 eine (komplex 1-dimensionale) ‘Hyperfläche’ H.
Diese Hyperfläche H hat eine Singularität in (0,0).
Die Formel für die Kleeblattschlinge besagt, daß man die Kleeblattschlinge als Durchschnitt der Hyperfläche H mit der 3-Sphäre IzI²+IwI²=1 (deren Mittelpunkt in der Singularität (0,0) liegt) bekommt.

Ein allgemeiner topologischer Zugang zum Studium der Singularitäten komplexer Hyperflächen im C² ist über die ‘Links der Singularitäten’
zu einem Punkt der Fläche nimmt man die 3-Sphäre um diesen Punkt und bildet ihren Schnitt mit der Fläche. Wenn der Punkt keine Singularität ist, dann ist dieser Schnitt einfach ein unverknoteter Kreis in der 3-Sphäre. Wenn der Punkt eine Singularität ist, bekommt man als Schnitt aber einen verknoteten Kreis (man nennt diesen Knoten den ‘Link der Singularität’).

Wie gesagt, als Link der Singularität (0,0) von z²+w³=0 bekommt man die Kleeblattschlinge. Veranschaulichen kann man das wie folgt:

Wenn man sich in der 3-Sphäre IzI²+IwI²=1 die Gleichung z²+w³=0 anschaut, dann überzeugt man sich leicht, daß die Lösung der (3,2)-Torusknoten ist, d.h. der Knoten, den man wie folgt erhält:

Man gehe um einen Torus (der unverknotet im Raum liegt, gegeben durch die Gleichung IzI=IwI=1) 3 mal in vertikaler und 2 mal in horizontaler Richtung herum:

Thomas K.K. Au

Das Resultat ist ein Knoten, und zwar die Kleeblattschlinge, über die wir in Teil 111 geschrieben hatten:

Die Kleeblattschlinge ist also der Link der Singularität z²+w³=0.

Analog, wenn man sich z.B. diesen Knoten ansieht, der sich 7mal in senkrechter und 3mal in waagerechter Richtung um den Torus windet

(der Torus ist lila, der Knoten blau der Anschaulichkeit halber besonders dick gezeichnet) dann überlegt man sich leicht, daß dieser der Link der Singularität (0,0) der durch die Gleichung
z³+w⁷=0 gegebenen Fläche ist.

Allgemein bezeichnet man einen Knoten, der sich p-mal in senkrechter und q-mal in waagrechter Richtung um einen Torus windet, als (p,q)-Torusknoten. Die Kleeblattschlinge ist der (2,3)-Torusknoten, das Bild oben zeigt den (3,7)-Torusknoten und das Bild unten (ebenfalls von J. Meier) den (2,15)-Torusknoten:

Dieser ist der Link (von (0,0)) der Gleichung z²+w¹⁵=0.
Allgemein: wenn man zu natürlichen Zahlen p,q (größer als 1) die Hyperfläche z^p+w^q=0 nimmt, dan hat diese eine Singularität in (0,0) und der Link dieser Singularität ist der (p,q)-Torusknoten.

Soweit hat man mit Singularitätentheorie nur die Torusknoten anders (komplizierter) beschrieben. Man kann diese Beschreibung aber nutzen, um das Komplement von Torusknoten zu ‘fasern’, d.h. in Seifertflächen zu zerlegen, analog zur Faserung des Komplements der Kleeblattschlinge aus TvF 120. Dazu nächste Woche.

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