Das Entgelt für die Nutzung der singulären Betriebsmittel ist als Jahrespauschale bei der SEWAG Netze individuell zu erfragen. (Quelle)
Nachdem wir vor 2 Wochen über die Nutzung von Singularitäten in Sportwissenschaft, Psychoanalyse und Finanzmarkt-Erklärung geschrieben hatten, soll es heute darum gehen, wie man Singularitätentheorie zum Verständnis von Knoten (und auch höher-dimensionalen Räumen) nutzen kann.
Wir hatten jetzt schon einige Male darüber geschrieben, daß man das Komplement der Kleeblattschlinge gleichmäßig in Flächen zerlegen (“durch Flächen fasern“) kann:
www.josleys.com/show_gallery.php?galid=303 – auf Bild klicken, um Animation zu starten
Zur Erinnerung: Die Kleeblattschlinge ist im komplex-2-dimensionalen Raum C2 der Durchschnitt der Fläche z2+w3=0 mit der Einheits-Sphäre IzI2+IwI2=1.
Wir hatten letztes Mal schon erwähnt, daß die Kleeblattschlinge ein spezielles Beispiel eines “Link einer Singularität” ist, nämlich der Singularität der Fläche z2+w3=0 im Punkt (0,0).
Der Ansatz, Singularitäten über ihre Links zu untersuchen, wurde durch Milnors Buch “Singular points of complex hypersurfaces” populär.
Allgemein betrachtet man folgendes Problem: eine Hyperfläche im Cn sei gegeben durch die Gleichung f(z1,…,zn)=0, wobei f ein Polynom ist. (Für n=2 bekommt man Flächen im C2.)
Wenn f in (0,0) eine Singularität hat (d.h. wenn alle Ableitungen in (0,0) Null sind), dann betrachtet man den “Link der Singularität” L, also den Durchschnitt der Hyperfläche
f(z1,…,zn)=0 mit einer kleinen Sphäre Iz1I2+…+IznI2=ε. Dieser Link ist 2n-3-dimensional. (Für n=2 und f(z1,z2)=z12+z23 bekommt man die Kleeblattschlinge.)
In Milnors Buch werden dann Zusammenhänge zwischen der Algebra der Singularitäten und der Topologie des Links hergestellt. Vieles davon (und neuere Entwicklungen) findet man im Artikel “Links of singular points of complex hypersurfaces” im “Manifold Atlas”.
(Bei der Gelegenheit ein Hinweis auf den “Manifold Atlas”, ein wachsendes wikipedia-ähnliches Projekt mit z.T. sehr ausführlichen Artikeln über diverse Klassen von Mannigfaltigkeiten.)
Die durch das Applet oben veranschaulichte Faserung kann man ebenfalls mit Singularitätentheorie verstehen. Der Link L ist ja der Durchschnitt der Hyperfläche f(z1,…,zn)=0 mit der ε-Sphäre, das Komplement des Links (in der ε-Sphäre) sind also die Punkte der ε-Sphäre, wo f(z1,…,zn) ungleich 0 ist. Man kann also auf naheliegende Weise eine Abbildung
p:S2n-1 – L —> S1
vom Komplement des Links auf den Einheitskreis (in der komplexen Zahlenebene) definieren durch p(z1,…,zn)=f(z1,…,zn)/If(z1,…,zn)I. (Wenn man eine Zahl durch ihren Betrag teilt, bekommt man immer eine Zahl mit Betrag 1, also auf dem Einheitskreis der komplexen Zahlenebene.)
Milnor beweist dann, daß die Abbildung p immer eine Faserung gibt. (D.h. das Komplement des Links wird durch die Hyperflächen p-1(z) mit z aus S1 gefasert.) Damit bekommt man z.B. die Faserung des Komplements der Kleeblattschlinge z12+z23=0 oder die Faserungen der Komplemente der Torusknoten z1p+z2q=0, die wir letzte Woche gesehen hatten.
Milnor beweist auch noch, daß die Fasern homotopie-äquivalent zu n-1-dimensionalen Zellkomplexen sind. Im Fall der Kleeblattschlinge oder der Torusknoten (n=2) liefert das aber nichts neues, weil ohnehin jede Fläche mit Rand homotopie-äquivalent zu einem 1-dimensionalen Zellkomplex ist.
Allgemein bekommt man als “Links von Singularitäten” für n=2 alle iterierten Torusknoten.
Für größere n bekommt man kompliziertere Mannigfaltigkeiten (allerdings immer n-2-zusammenhängend), die manchmal ‘exotische’ Eigenschaften haben. Zum Beispiel bekommt man für n=6 und f(z1,…,z6)=z13+z22+…+z62 einen Link, der homöomorph, aber nicht diffeomorph zur Sphäre ist (über solche ‘exotischen’ Sphären hatten wir hier geschrieben). Diese sogenannte ‘Brieskorn-Sphäre’ hat Kervaire-Invariante 1 (über die Kervaire-Vermutung hatten wir hier geschrieben).
Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122
Letzte Kommentare