Geometry, Fibre Bundles, Kaluza-Klein Theories and All That…
Faserbündel sind ein wichtiges Hilfsmittel zur “Geometrisierung der Physik” und Grundlage für die Formulierung physikalischer Theorien wie Elektrodynamik und Eichtheorien.
Das wohl historisch erste Beispiel ist die Kaluza-Klein-Theorie, die aus dem erfolglosen Versuch entstand, die Maxwell-Gleichungen des Elektromagnetismus in der Einstein’schen Raum-Zeit zu formulieren. Weil das nicht möglich war, betrachtete man statt der Raum-Zeit ein Kreisbündel über der Raum-Zeit (also etwas 5-dimensionales), wo man die Maxwell-Gleichungen formulieren konnte.
Shiing-Shen Chern soll mal irgendwo gesagt haben, daß sich schon Descartes mit Faserbündeln befaßt habe. (Vermutlich meinte er einfach die Produktstruktur der kartesichen Koordinaten.) Auch Gauß beschäftigte sich z.B. mit Regelflächen oder mit Tangential- und Normalvektoren, hatte also sicher eine Vorstellung von Faserbündeln. Der Begriff ‘Faserraum’ taucht aber wohl zum ersten Mal bei Seifert auf, der damit etwas sehr spezielles meinte, nämlich (evtl. singuläre) Kreisbündel über Flächen (sogenannte ‘Seifert-Faserungen’ in heutiger Terminologie).
In der Physik interessiert man sich, etwa bei der Beschreibung des Elektromagnetismus oder Eichtheorien, vor allem für Faserbündel, deren Fasern Lie-Gruppen sind . Das wird schnell kompliziert, wenn man als Fasern nichtabelsche Lie-Gruppen (wie SU(2)) hat, ist aber noch vergleichsweise einfach im Fall abelscher Eichtheorien (Seiberg-Witten-Theorie), wo die Faser ein Kreis, also die abelsche Lie-Gruppe U(1)=SO(2) ist.
Einfachstes Beispiel eines U(1)-Bündels ist die Hopf-Faserung (TvF 113) der 3-dimensionalen Sphäre:
(Der rote Kreis geht durch den Punkt im Unendlichen.)
Neben der Nützlichkeit zur Beschreibung physikalischer Phänomene sind Faserbündel natürlich auch inner-mathematisch von Interesse: es ist oft nützlich einen Raum in Fasern zu zerlegen und erst mal faserweise zu rechnen.
In TvF 112 hatten wir darüber geschrieben, wie man das Komplement der Kleeblattschlinge (unten links) in Kreise zerlegen, also als “Seifertfaserung” darstellen kann. Andererseits hatten wir in TvF 123 Singularitätentheorie benutzt, um das selbe Kleeblattschlingen-Komplement als Faserbündel über dem Kreis (mit 2-dimensionalen Fasern) darzustellen.
Und letzte Woche hatten wir erwähnt, daß man das Komplement des Achterknotens (Bild rechts) ebenfalls als Faserbündel über dem Kreis mit 2-dimensionalen Fasern zerlegen kann. Das Komplement des Achterknotens läßt sich aber nicht in Kreise zerlegen.
Allgemein kann man durch Faserungen über dem Kreis (mit mehrdimensionalen Fasern) wesentlich kompliziertere Räume bekommen als durch Faserungen, deren Fasern Kreise sind. Andererseits hat man für Faserbündel über dem Kreis eine sehr einfache Beschreibung als sogenannte ‘Abbildungstori’:
Den ‘Abbildungstorus’ einer Abbildung f:F–>F bekommt man, indem man das Produkt Fx[0,1] von F mit dem Intervall [0,1] nimmt und die beiden ‘Ränder’ Fx0 und Fx1 mit der Abbildung f verklebt. Im Bild unten wird dies gemacht für F den Torus mit Rand und f die ‘Katzenabbildung’ von letzter Woche.
Fx[0,1] ist auf offensichtliche Weise ein Faserbündel über [0,1] (mit Faser F) und der Abbildungstorus ist dann eine Faserung (mit Faser F) über dem Kreis, den man bekommt, wenn man die beiden Enden des Intervalls [0,1] miteinander verklebt.
Überraschenderweise ist der Abbildungstorus, den man aus dem Bild oben erhält, gerade das Komplement das Achterknotens. Man bekommt also eine einfache Beschreibung dieses komplizierten Raumes.
Allgemein kann man jedes Faserbündel über dem Kreis als Abbildungstorus einer Abbildung f:F–>F bekommen. f heißt dann die Monodromie dieses Faserbündels.
Im Beispiel der Faserung des Achterknoten-Komplements ist die Monodromie also gerade die Katzenabbildung, um die es in den letzten beiden Wochen (‘Alles hängt mit allem zusammen’) gegangen war.
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