Topologie von Flächen CXXXIII

Selbstabbildungen des Torus und SL(2,Z).

Letzte Woche hatten wir begonnen, Homöomorphismen, d.h. Selbstabbildungen (stetig und mit stetiger Umkehrabbildung) von Flächen (‘modulo Homotopie’) zu diskutieren. (‘modulo Homotopie’ heißt, daß zwei Abbildungen als gleich angesehen werden, wenn die eine aus der anderen durch Homotopie, d.h. stetige Deformation, hervorgeht.)

Wir hatten erwähnt, daß es für die Sphäre ‘modulo Homotopie’ nur 2 solcher Abbildungen gibt, nämlich die Identität f(x)=x und die Spiegelung an einem Großkreis.

Wie sieht es für den Torus aus?

Selbstabbildungen des Torus

Um Selbstabbildungen des Torus zu verstehen, schaut man sich an, wie die Abbildung auf die 2 geschlossene Kurven wirkt, die auf dem Torus unten eingezeichnet sind: die horizontale “Longitude” b und der vertikale “Meridian” a.

Man kann diese Kurven natürlich zusammensetzen zu weiteren Kurven. Also 2a+3b wäre dann z.B. die Kurve, die 2-mal vertikal und anschließend 3-mal horizontal herumläuft.

In TvF 28 hatten wir mal diskutiert, daß jede geschlossene Kurve homotop ist (d.h. sich stetig deformieren läßt) in eine Kurve, die aus Hintereinanderdurchlaufen von Longitude und Meridian in irgendeiner Reihenfolge besteht. Jedes Element der Fundamentalgruppe ist also von der Art ma + nb für ganze Zahlen m,n. (Die Reihenfolge spielt keine Rolle, 2a+3b ist auf dem Torus das selbe wie 3b+2a oder auch wie a+3b+a. TvF 28)

Die “Fundamentalgruppe” (das war die Gruppe der geschlossenen Kurven modulo Homotopie, mit einem festen Start-und Endpunkt) des Torus ist also Z², jede Kurve entspricht (nach Homotopie) einem eindeutigen Paar (m,n) ganzer Zahlen.

Insbesondere, wenn f eine Selbstabbildung des Torus ist, dann sind die Bilder von Longitude bzw. Meridian homotop zu aa + cb bzw. ba + db für irgendwelche ganzen Zahlen a,c,b,d.

Entsprechend wird dann ma + nb auf am+bna + cm+dnb abgebildet.

f wirkt also auf der Fundamentalgruppe Z² durch Multiplikation mit der Matrix

(m,n) wird auf (am+bn,cm+dn) abgebildet.

Man kann leicht beweisen, daß die Determinante dieser Matrix 1 oder -1 ist (einfach, weil die Determinante der Umkehrabbildung ja wieder eine ganze Zahl sein muß). Wenn die Abbildung ‘orientierungs-erhaltend’ ist (sozusagen links und rechts nicht vertauscht), dann muß die Determinante 1 sein. Es handelt sich also um eine Matrix aus SL(2,Z).

Jedem orientierungs-erhaltenden Homöomorphismus f des Torus ordnet man also eine Matrix in SL(2,Z) zu, indem man sich die Wirkung von f auf der Fundamentalgruppe Z² anschaut.
Man kann zeigen, daß jede Matrix aus SL(2,Z) einer Selbstabbildung des Torus entspricht. (Die 2×2-Matrix gibt ja gerade eine Abbildung R²–>R², die das Gitter Z² wieder auf Z² abbildet. Der Torus T² ist der Quotient T²=R²/Z², TvF 63, TvF 93, man bekommt zu der Matrix also eine Selbstabbildung des Torus und kann überprüfen, daß diese auf der Fundamentalgruppe gerade als die ursprüngliche Matrix wirkt.) Und man kann auch beweisen, daß zwei Abbildungen genau dann homotop sind, wenn sie dieselbe Matrix ergeben.
Das ist ein Spezialfall des allgemeinen Prinzips, daß eine Abbildung von einer Manngfaltigkeit in einen Eilenberg-MacLane-Raum durch ihre Wirkung auf der Fundamentalgruppe eindeutig bestimmt ist (natürlich ‘modulo Homotopie’). (Bei Abbildungen T²–>T² gibt es dafür natürlich auch elementarere Beweise.)
Die orientierungs-erhaltenden Homöomorphismen des Torus ‘modulo Homotopie’ entsprechen also genau den Matrizen aus SL(2,Z). (Man sagt: die Abbildungsklassengruppe des Torus ist SL(2,Z).)

Letzte Woche hatten wir über Dehn-Twists als Beispiele von Selbstabbildungen des Torus geschrieben. Die Dehn-Twists an Longitude resp. Meridian entsprechen gerade den unteren bzw. oberen Dreiecksmatrizen in SL(2,Z) und man kann mit dem euklidischen Algorithmus beweisen, daß jeder orientierungs-erhaltende Homöomorphismus des Torus (‘modulo Homotopie’) ein Produkt solcher Dehn-Twists ist. Dazu nächste Woche.

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