Topologie von Flächen CXXXVI

Relationen zwischen Dehn-Twists

In den letzten Wochen ging es um Selbstabbildungen von Flächen, insbesondere um Dehn-Twists an geschlossenen Kurven wie im Bild unten:

Vor 2 Wochen hatten wir gesagt, daß jede (orientierungs-erhaltende) Selbstabbildung des Torus homotop zu einer Hintereinanderausführung von Dehn-Twists an Longitude und Meridian ist.

Letzte Woche hatten wir erwähnt, daß man auf einer beliebigen Fläche eine nicht-zerlegende Kurve mit Hintereinanderausführung von Dehn-Twists in eine beliebige andere nicht-zerlegende Kurve abbilden kann.
Eine Kurve heißt “nicht-zerlegend”, wenn die Fläche nach Herausnehmen der Kurve noch zusammenhängend ist.
(Das selbe geht dann auch für “Multikurven”, also endlich viele nicht-zerlegende Kurven.)

Und weil Selbstabbildungen von Flächen durch ihre Wirkung auf Kurven schon eindeutig (bis auf Homotopie) festgelegt sind, erhält man:
jede (orienteirungs-erhaltende) Selbstabbildung einer beliebigen Fläche ist homotop zu einer Hintereinanderausführung von Dehn-Twists an geeigneten Kurven.

Was sagt einem das jetzt über die Abbildungsklassengruppe der Fläche, also die Gruppe der (stetigen, stetig umkehrbaren, orientierungserhaltenden) Selbstabbildungen der Fläche (modulo Homotopie)?

Jedes Element der Abbildungsklassengruppe läßt sich als Hintereinanderausführung von Dehn-Twists schreiben, aber diese Darstellung ist nicht im geringsten eindeutig.

Einfachstes Beispiel: wenn zwei Kurven m und l sich nicht schneiden, dann ist es egal, in welcher Reihenfolge man die Dehn-Twists t_m an m bzw. t_l an l ausführt:
es gilt nämlich t_mt_l=t_lt_m.

Das ist nur das einfachste Beispiel von ‘Relationen’ zwischen Dehn-Twists, die dafür sorgen, daß die Zerlegung einer Selbstabbildung als Hintereinanderausführung von Dehn-Twists nicht eindeutig ist.
Weitere Relationen (zwischen Dehn-Twists an sich schneidenden Kurven) zeigt das Paper unten (https://xxx.uni-augsburg.de/pdf/math/0103176v1, S.10), nämlich die Zopf-Relationen, die Laternen-Relationen und die Ketten-Relationen.

Und das sind nur die einfachsten Beispiele für Relationen zwischen Hintereinanderausführungen von Dehn-Twists.

Also: die Zerlegung einer Selbstabbildung in Dehn-Twists ist keineswegs eindeutig und es ist nicht so einfach, aus einer Darstellung einer Selbstabbildung als Hintereinanderausführung von Dehn-Twists irgendwelche Folgerungen über die Abbildung zu ziehen. (Es ist zum Beispiel nicht so klar, wann eine Hintereinanderausführung von Dehn-Twists einfach homotop zur Identitätsabbildung ist.)

Deshalb ist es oft nützlicher, einen geometrischeren Zugang zu nehmen und sich anzuschauen, wie sich die Selbstabbildung bzgl. einer hyperbolischen Metrik auf der Fläche verhält, ob sie etwa in einer Richtung dehnt oder staucht oder ob sie Abstände erhält. Dazu in späteren Folgen.

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