Letzte Woche ist die Schauspielerin Jill Clayburgh gestorben. Popularität unter Mathematikern genoß sie vor allem durch den Beweis des Zick-Zack-Lemmas in “It’s my Turn”.
Das Zick-Zack-Lemma (engl. snake lemma), das übrigens auch in “The Graduate” vorkommt (dort aber nicht bewiesen wird) gilt als einer der grundlegenden Sätze der homologischen Algebra und der Beweis ist ein Beispiel für eine Diagrammjagd (engl. diagram chasing, span. zigzaguear), wie sie typisch ist für diesen gelegentlich als abstract nonsense (oder ‘general nonsense’) bezeichneten Teil der Mathematik.
Abstrakt geht es um folgendes Diagramm (die Sequenzen mit durchgezogenen Pfeilen sind exakt, die mit gestrichelten Pfeilen nicht unbedingt)
und das Ziel ist, eine Abbildung von Ker(h) nach Cok(f) zu konstruieren.
Der Beweis, wie er im Film vorgeführt wird, ist eigentlich eine einfache Übungsaufgabe (wenn man denn mit den abstrakten Begriffen wie exakte Sequenz etc. vertraut ist). Der bewiesene Fakt wird aber in vielen unterschiedlichen Zusammenhängen in der Mathematik verwendet.
Die klassische topologische Anwendung ist natürlich die : wenn man einen Raum X und einen Unterraum Y hat, dann nimmt man für A bzw. B die n-dimensionalen Ketten in Y bzw. X (und für C die Faktorgruppe B/A), für A’ bzw. B’ die n-1-dimensionalen Ketten in Y bzw. X (und für C’ die Faktorgruppe B’/A’), als vertikale Abbildungen f,g,h nimmt man die Rand-Operatoren, und die Diagrammjagd gibt einem dann eine Abbildung von Hn(X,Y) nach Hn-1(Y). Veranschaulichen kann man die Abildung in diesem Fall so: eine Homologieklasse in Hn(X,Y) wird repräsentiert durch eine n-Kette in X, deren Rand eine n-1-Kette in Y ist. Das Bild in Hn-1(Y) ist gerade die Homologieklasse dieses Randes. (Zum Beispiel, wenn X eine kompakte n-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand Y ist, dann wird die Fundamentalklasse von X auf die Fundamentalklasse von Y abgebildet.)
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