Also: chaotische Dynamik –> gleichmäßige Verteilung der Dichten der “Hochfrequenz-Zustände” ?
Das suggeriert jedenfalls das Beispiel der Billardtische und darum geht es auch in der “Quantum Unique Ergodicity”-Vermutung von Rudnick-Sarnak. Diese besagt i.W. daß eine Gleichverteilung der hochfrequenten Wellen immer dann vorliegen soll, wenn der geodätische Fluß ergodisch ist.
Die Bedingung der Ergodizität des geodätischen Flußes ist immer erfüllt für kompakte Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung – und dieser ist ja bekanntlich das klassische Beispiel für (berechenbares) Chaos. Ein besonders ‘regelmäßiges’ Beispiel ist der geodätische Fluß auf einer hyperbolischen Fläche (TvF 74).
Für geschlossene “arithmetische” hyperbolische Flächen ist die QUE-Vermutung vor einigen Jahren von Lindenstrauss bewiesen worden. Der Fall der Modulfläche SL(2,Z)/H2 ist schwieriger, weil diese nicht kompakt ist, und dieser Fall wurde also in der jetzt veröffentlichten Arbeit von Soundararajan in den “Annals of Mathematics” bewiesen:
K. Soundararajan (2010). Quantum unique ergodicity for SL_2(Z)\H Annals of Mathematics, 172 (2), 1529-1538 arXiv: 0901.4060v1
Lindenstrauss, E. (2006). Invariant measures and arithmetic quantum unique ergodicity Annals of Mathematics, 163 (1), 165-219 DOI: 10.4007/annals.2006.163.165
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