Wieviele Pflasterungen der hyperbolischen Ebene gibt es?

Letzte Woche ging es darum, daß man Selbstabbildungen des Torus verstehen kann, wenn man sich anschaut, wie sie (sozusagen als Koordinatenwechsel) auf dem Raum aller flachen Metriken (und der Kompaktifizierung dieses Raums) wirken.

Dasselbe würde man auch gerne machen, um die Selbstabbildungen von komplizierteren Flächen zu verstehen. Auf Flächen mit mehr als einem Henkel hat man allerdings keine flachen Metriken, dafür aber ‘hyperbolische’ Metriken (konstante negative Krümmung). Es liegt dann nahe, sich (in Analogie zum Teichmüller-Raum der flachen Metriken auf dem Torus) nun den Teichmüller-Raum der hyperbolischen Metriken auf komplizierteren Flächen anzuschauen.

Konstruktion hyperbolischer Metriken

Jetzt geht es also wieder um Flächen mit mindestens zwei Henkeln.

Für die hatten wir schon vor langer Zeit gezeigt, wie man hyperbolische Metriken auf der Fläche bekommen kann.

Die Fläche mit g Henkeln bekam man ja (TvF 5) aus einem 4g-Eck durch passendes Verkleben von Kanten. Zum Beispiel die Brezel aus einem Achteck:

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Man denke sich das 8-Eck (bzw. im allgemeinen Fall das 4g-Eck) so in der hyperbolischen Ebene gezeichnet, daß die zu verklebenden Seiten gleich lang sind. (Die Verklebung lassen sich also durch Isometrien der hyperbolischen Ebene durchführen.) Dann gibt die Metrik der hyperbolischen Ebene eine hyperbolische Metrik auf der Brezel bzw. im allgemeinen Fall auf der Fläche mit g Henkeln.
(Das hatten wir in TvF 69 gemacht.)

In TvF 64 hatten wir dieses Bild mal als Beispiel für eine universelle Überlagerung gebracht: jedes 8-Eck im Bild unten wird auf die Brezel abgebildet, die Symmetrien des Bildes sind Isometrien der hyperbolischen Metrik, deshalb kann man die hyperbolische Metrik auf dem ‘Quotienten-Raum’ (der Brezel) eindeutig definieren.

Quelle: https://mathworld.wolfram.com/UniversalCover.html

Teilungen der hyperbolischen Ebene

Nun gibt es offensichtlich verschiedene 8-Ecke (bzw. 4g-Ecke) in der hyperbolischen Ebene, und selbst wenn man verlangt, daß die zu verklebenden Seiten gleich lang sind, gibt es noch unendlich viele Möglichkeiten von 8-Ecken, die auch keineswegs untereinander isometrisch sein müssen.

Jedenfalls gibt jede solche Teilung der hyperbolischen Ebene durch 4g-Ecke (siehe Farb-Margalit, S.277/78 für eine präzise Definition von ‘Teilung’) eine hyperbolische Metrik auf der Fläche mit g Henkeln.

In Farb-Margalit, S.278-80 wird bewiesen, daß es eine 1:1-Entsprechung (“Bijektion”) zwischen den hyperbolischen Metriken und den Teilungen der hyperbolischen Ebene durch 4g-Ecke gibt.

Einige Beispiele unterschiedlicher Teilungen durch 8-Ecke zeigt der screenshot (ebenfalls aus Farb-Margalit):

Mit Deva Verfs Teichmüller Navigator kann man interaktiv ausprobieren, wie sich die Teilungen verändern lassen.

Wieviele Teilungen gibt es?

Der folgende ‘dimension count’ macht plausibel, daß der ‘Raum aller hyperbolischen Metriken, die durch Teilungen der hyperbolischen Ebene in 4g-Ecke konstruier werden’ ein 6g-6-dimensionaler Raum sein sollte:

+8g (man muß 4g Ecken in der 2-dimensionalen hyperbolischen Ebene wählen)
-2g (die 2g zu verklebenden Seitenpaare müssen jeweils Paare von gleichlangen Kanten sein)
-1 (die Innenwinkelsumme muß 360^o sein – das erreicht man durch Streckung/Stauchung des 4g-Ecks mit einem positiven Faktor)
-3 (isometrische Teilungen werden als gleich angesehen, die Isometriegruppe der hyperbolischen Ebene ist 3-dimensional)
-2 (die Eckpunkte des 4g-Ecks werden auf einen Punkt der Fläche abgebildet, jeder Punkt der Fläche ist möglich)

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Summe: 6g-6

Das ist jetzt natürlich nur ein Plausibilitäts-Argument, zumal wir noch gar nicht gesagt hatten, welche Metrik/Topologie wir auf dem Raum der Teilungen bzw. dem dazu bijektiven Raum der hyperbolischen Metriken definieren. Aber es macht jedenfalls schon mal plausibel, daß der Raum der hyperbolischen Metriken 6g-6-dimensional ist (im Gegensatz zum nur 2-dimensionalen Raum der flachen Metriken auf dem Torus).

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