Topologie von Flächen CLI

Riemanns Moduli-Problem und der Teichmüller-Raum.

In den letzten Wochen war es um den ‘Raum der hyperbolischen Metriken’ auf einer Fläche (mit g Henkeln) gegangen, wir hatten auf verschiedene Weisen plausibel gemacht, daß dieser Raum 6g-6-dimensional ist.

Dieser ‘Raum der hyperbolischen Metriken’ wird als Teichmüller-Raum bezeichnet, nach dem umstrittenen Deutschen Mathematiker Oswald Teichmüller. In dessen Arbeiten ging es eigentlich aber gar nicht um den ‘Raum der hyperbolischen Metriken’, sondern um den ‘Raum der komplexen Strukturen’. Diese beiden Räume sind allerdings gleich. Warum?

Den Zusammenhang zwischen hyperbolischen Metriken und komplexen Strukturen hatten wir in TvF 66 schon mal beschrieben.

Sei F eine Riemannsche Fläche mit mindestens 2 Henkeln.
(‘Riemannsche Fläche’ ist dasselbe wie ‘komplexe 1-Mannifaltigkeit’, d.h. die Fläche wird lokal durch einen komplexen Parameter beschrieben. Zum Beispiel ist die Lösungsmenge der Gleichung w²=(z-2)(z-1)z(z+1)(z+2)=0 in komplexen Zahlen z,w eine Riemannsche Fläche mit 2 Henkeln.)

Nach dem Riemannschen Abbildungssatz ist die universelle Überlagerung von F die Einheitskreisscheibe. Die Riemannsche Fläche F bekommt man also als Quotienten der Einheitskreisscheibe bzgl. gewisser biholomorpher Abbildungen.
(Holomorphe Abbildungen sind Abbildungen, die komplex differenzierbar sind. Biholomorphe Abbildungen sind holomorphe Abbildungen, bei denen auch die Umkehrabbildung holomorph ist. Zum Beispiel ist f(z)=zⁿ holomorph, aber für n>1 nicht biholomorph.)

In TvF 66 hatten wir beschrieben, wie man damit dann auch eine hyperbolische Metrik auf der Fläche konstruieren kann.

Rein zufällig sind nämlich die

– Symmetrien in Riemanns komplexer Geometrie (also die “biholomorphen” oder “konformen” Abbildungen) der Kreisscheibe

gerade diejenigen Abbildungen, die auch

– Symmetrien der hyperbolischen Metrik der Kreisscheibe (vgl. TvF 55)

sind.

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Quelle: Mathworld

Wenn also z.B. die universelle Überlagerung der Brezel die Kreisscheibe ist, die Brezel sich also als “Quotient” der Kreisscheibe mit “biholomorphen” Symmetrien ergibt, dann ergibt sie sich automatisch auch als Quotient der Kreisscheibe mit Symmetrien der hyperbolischen Metrik. Wie in TvF 64 gesehen, ‘erbt’ sie dadurch die hyperbolische Metrik.

Die hyperbolischen Metriken auf einer Fläche entsprechen also den ‘komplexen Strukturen’ der Fläche (d.h. den Möglichkeiten, diese Fläche als komplexe 1-Mannigfaltigkeit darzustellen). Statt, wie wir es in den letzten 3 Wochen getan hatten, den Raum der hyperbolischen Metriken zu parametrisieren, kann man also auch den Raum der ‘komplexen Strukturen’ parametrisieren.

Letzteres ist ein klassisches Problem. Schon Riemann hatte behauptet, daß die komplexen Strukturen durch 3g-3 komplexe (also 6g-6 reelle) Parameter beschrieben werden. Eine solche Beschreibung fand dann aber erst Oswald Teichmüller in einer 1939 veröffentlichten Arbeit. (Dazu nächste Woche.) Teichmüllers Artikel enthielt die wesentlichen Ideen, aber kaum Beweise – diese wurden dann später von Ahlfors und Bers ausgearbeitet.

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