Was machten wir hier noch mal? Topologie von Flächen, Anwendungen der hyperbolischen Geometrie und wie klassifiziert man Flächen.
Was machten wir hier noch mal?
Es ging um Flächen:
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die konnte man einerseits durch ihre Euler-Charakteristik #Ecken-#Kanten+#Dreiecke unterscheiden (TvF 6), oder auch durch ihre Fundamentalgruppe (TvF 31), oder man konnte sie “geometrisieren” (Tvf 46): der Torus hat flache Metriken (TvF 63), Brezel, Doppelbrezel, etc haben hyperbolische Metriken (TvF 69).
Hyperbolische Metriken auf Flächen hatten vielerlei Anwendungen, zum Beispiel:
– Veranschaulichung von Chaos (TvF 74)
– Trommeln mit identischem Klangspektrum (TvF 78)
– Fundamentalgruppen hyperbolischer Flächen als ‘Vorbild’ für die Theorie der hyperbolischen Gruppen (TvF 83) und der automatischen Gruppen (TvF 138)
– nicht-rekurrente Irrfahrten (TvF 86)
– der Modulraum von Gittern (TvF 95)
– Expander-Graphen (TvF 102)
– Quantenchaos (TvF 106)
– die Kleeblattschlinge (TvF 112) und Knoten im Lorenz-Attraktor (TvF 119)
– die Klassifikation der Selbstabbildungen von Flächen (TvF 140 bis TvF 157)
Vor allem der letzte Punkt zeigt, wie man die Geometrie der hyperbolischen Metriken benutzen kann, um ein rein topologisches Problem (die Klassifikation der Selbstabbildungen von Flächen bis auf Homotopie) zu verstehen.
Andererseits gibt es natürlich schon seit langem eine rein topologische Theorie von Flächen, insbesondere ist die topologische Klassifikation der Flächen (wie sie das Bild oben nahelegt) schon seit dem 19. Jahrhundert bekannt, den ersten vollständigen Beweis der Klassifikation für triangulierte Flächen gaben Dehn und Heegard 1907.
Einen anderen und eleganteren Beweis (allerdings unter der Voraussetzung, daß die Flächen differenzierbare Atlanten haben) liefert die Henkelzerlegung via Morse-Theorie.
Für die Geometrisierung der Flächen hatten wir hier ja unterschiedliche Beweise angegeben: analytische Beweise a la Riemann (TvF 67, TvF 68) funktionieren unabhängig von der topologischen Gestalt der Fläche (beweisen freilich “nur” die Geometrisierung und liefern noch keine Klassifkation der Flächen, ähnlich wie der Thurston-Perelman-Geometrisierungssatz in der 3-Mannigfaltigkeits-Topologie), während der einfachere explizite Beweis der Hyperbolisierung von Flächen (durch Konstruktion eines Fundamentalpolygons in der hyperbolischen ebene, cf. TvF 69) schon eine explizite Beschreibung der Flächen nutzte, also im Prinzip die Klassifikation der Flächen bereits voraussetzte.
Nun sind die meisten der oben aufgelisteten Anwendungen natürlich einfach schon deshalb interessant, weil sie sich eben auf die bekannten hyperbolischen Flächen beziehen. Aber es bleibt natürlich die Frage, ob diese hyperbolischen Flächen (zusammen mit Sphäre und Torus) tatsächlich alle (kompakten, orientierbaren, zusammenhängenden) Flächen sind, oder ob es vielleicht noch irgendwelche ganz anderen Flächen gibt. Und diese Frage wird (negativ) von der topologischen Klassifikation der Flächen beantwortet, weshalb wir, nachdem wir bisher an vielen Beispielen den Nutzen von Geometrisierung diskutiert hatten, in den nächsten Folgen dann auf die rein topologische Theorie von Flächen eingehen werden.
Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157
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