Topologie von Flächen CLX

Differenzierbarkeit auf Sphären.

Am Mittwoch wurde bekanntgegeben, daß der Abelpreis dieses Jahr an John Milnor verliehen wird, unter anderem für die Klassifikation der exotischen Sphären, d.h. der verschiedenen Differentialstrukturen auf Sphären.

Worum geht es dabei?

Wir hatten letzte Woche (und auch schon in TvF 10) gesagt, daß man Flächen durch ebene Landkarten überdecken kann. (Das ist die mathematische Definiton des Begriffs “Fläche” bzw. “2-dimensionale Mannigfaltigkeit”.)

Das Bild zeigt eine Karte für die Einheits-Sphäre (mit Ausnahme des Nordpols).
Die Abbildung (die sogenannte stereographische Projektion) ist gegeben durch
φ₁(x,y,z) = (x/(1-z),y/(1-z)).

Eine zweite Landkarte bekommt man für die Einheits-Sphäre (mit Ausnahme des Südpols) durch die Formel φ₂(x,y,z) = (x/(1+z),y/(1+z)), d.h. man projiziert vom Südpol aus auf eine am Nordpol angebrachte Ebene.
(Diese beiden Landkarten überdecken die gesamte Sphäre.)

Wenn man jetzt auf der Sphäre Differentialrechnung betreiben (d.h. Funktionen f ableiten) will, wird man dies natürlich in den durch die Karten gegebenen Koordinaten tun (d.h. man leitet fφ₁^-1 bzw. fφ₂^-1 ab). Das ganze soll natürlich koordinaten-unabhängig sein: in denjenigen Punkten, die zu beiden Landkarten gehören, soll die Differenzierbarkeit einer Funktion nicht davon abhängen, welche der beiden Landkarten man als Koordinatensystem verwendet. Mathematisch formuliert: die Differenzierbarkeit von fφ₁^-1 soll äquivalent zur Differenzierbarkeit von fφ₂^-1 sein.

Diese Bedingung ist aber genau dann erfüllt, wenn alle Koordinatenwechsel (hier: φ₂φ₁^-1 und φ₁φ₂^-1) differenzierbar sind, denn es ist ja fφ₁^-1=(fφ₂^-1)(φ₂φ₁^-1), also wenn φ₂φ₁^-1 differenzierbar ist, dann folgt Differenzierbarkeit von fφ₁^-1 aus Differenzierbarkeit von fφ₂^-1.

Langer Rede kurzer Sinn: damit man auf der Sphäre sinvoll Differentialrechnung betreiben kann, müssen die Koordinatenwechsel differenzierbar sein.

Für die beiden Karten oben ist das der Fall: sowohl φ₂φ₁^-1 als φ₁φ₂^-1 sind die Inversion am Einheitskreis und diese ist differenzierbar.

Eine Differentialstruktur auf der Sphäre ist, per Definition: eine Menge von Karten (die die gesamte Sphäre überdecken), so dass die Koordinatenwechsel differenzierbar sind.

Die beiden Karten oben definieren eine Differentialstruktur auf der 2-dimensionalen Sphäre. Jede andere Menge von Karten, die mit diesen beiden Karten kompatibel ist (d.h. die jeweiligen Koordinatenwechsel seien wieder differenzierbar) definiert dieselbe Differentialstruktur.

Man kann sich nun fragen, ob diese Differentialstruktur auf der Sphäre die einzig mögliche ist. Also, ob es eine andere Überdeckung mit Karten gibt, die nicht durch einen Homöomorphismus auf diese abgebildet wird, so daß die Koordinatenwechsel (zwischen Karten der einen Differentialstruktur und Karten der anderen Differentialstruktur) nicht differenzierbar sind. (Damit würde dann die Differenzierbarkeit einer Funktion davon abhängen, welche Koordinaten man verwendet.)

Eine solche andere Differentialstruktur gibt es auf der 2-dimensionalen Sphäre nicht. (Auch auf allen anderen Flächen sind die Differentialstrukturen jeweils eindeutig.) Das zu beweisen ist aber nicht trivial. Und tatsächlich stimmt diese Eindeutigkeit nur in niedrigen Dimensionen:

John Milnor hatte 1956 gezeigt, daß es auf der 7-dimensionalen Sphäre 28 verschiedene Differentialstrukturen gibt, mit einer relativ einfachen Konstruktion. (Es handelt sich um verschiedene S³-Bündel über S⁴, die homöomorph zur S⁷ sind, und die durch Elemente aus π₃SO(4)=Z² klassifiziert werden.) Später haben Kervaire und Milnor eine “Formel” für die Anzahl der Differentialstrukturen auf der n-dimensionalen Sphäre angegeben, aus der sich die folgende Tabelle (vgl. Wikipedia) ergibt:

116

Dim	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
# Sn	1	1	1	?	1	1	28	2	8	6	992	3	2	16256	2	16	523264	24

Unbekannt ist die Anzahl der Differentialstrukturen auf der n-dimensionalen Sphäre für n=4 (der Ansatz von Kervaire und Milnor benutzt Chirurgietheorie, die erst ab Dimension 5 funktioniert) und für n=126 (weil in dieser Dimension die Kervaire-Vermutung noch nicht bewiesen wurde).
Für n=4 ist die Frage völlig offen, die Vermutungen über die Anzahl der Differentialstrukturen auf der 4-dimensionalen Sphäre reichen von 1 bis unendlich. Eine Reihe potentieller Beispiele exotischer 4-Sphären wurde kürzlich von Akbulut widerlegt, d.h. er bewies, daß diese Beispiele diffeomorph zur S⁴ sind

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159