Topologie von Flächen CLX

Kommentare (3)

1. #1 Michael K

   25. März 2011

   Wieder mal ein sehr schöner Artikel 🙂

   Eine Frage hätt ich dennoch, weißt du wo ich den Satz “Auch auf allen anderen Flächen sind die Differentialstrukturen jeweils eindeutig.” finden könnte? Oder dessen Namen?
   Ich glaube der könnte mich aus meiner jetzigen Misere rausholen.

2. #2 Thilo

   25. März 2011

   Gute Frage.
   Es ist so, daß es (mindestens für Flächen, ich weiß nicht, ob das auch in höheren Dimensionen funktioniert) eine Korrespondenz zwischen Differentialstrukturen und Triangulierungen gibt:

   – wenn man eine Triangulierung einer Fläche hat, dann bekommt man daraus eine Differentialstruktur – für Punkte im Inneren eines Dreiecks nimmt man das Dreieck als Karte, für Punkte auf einer Kante nimmt man die Vereinigung der beiden adjazenten Dreiecke, offensichtlich sind die Kartenwechsel glatt. Der einzige nicht ganz offensichtliche Punkt ist die Konstruktion einer Karte um die Eckpunkte der Triangulierung, da muß man eventuell dehnen/stauchen, damit sich die Winkel der adjazenten Dreiecke zu 360 Grad aufaddieren. (Eine explizite Konstruktion findet man im Lehrbuch von Climenhaga-Katok. Ein einfacher Spezialfall, der vielleicht das Problem veranschaulicht, war die Konstruktion flacher bzw. hyperbolischer Metriken auf bestimmten triangulierten Flächen in https://www.scienceblogs.de/mathlog/2009/06/topologie-von-flachen-lxix.php .)

   – wenn man eine Differentialstruktur hat, dann gibt es eine Triangulierung (aus der man mit der obigen Konstruktion die Differentialstruktur zurückgewinnt). Das ist (in beliebigen Dimensionen) ein Satz von Whitehead, der Spezialfall für Flächen war ein Satz von Rado, dessen Beweis man in Kapitel 8 von Moise:”Geometric Topology in dimension 2 and 3″ findet.

   Die Triangulierung einer Fläche ist aber in gewisser Weise eindeutig – für Flächen gilt die sogenannte Hauptvermutung: wenn man zwei Triangulierungen einer Fläche hat, dann kann sie so weiter unterteilen, daß die dann erhaltenen Triangulierungen übereinstimmen (d.h. es gibt einen Diffeomorphismus der Fläche, der die eine auf die andere unterteilte Triangulierung abbildet).
   Dieser Satz gilt nicht in beliebigen Dimensionen, aber eben für Flächen, einen Beweis findet man ebenfalls in Kapitel 8 von Moise’s Buch.

   Aus der Fast-Eindeutigkeit der Triangulierung ergibt sich dann sofort die Eindeutigkeit der Differentialstruktur: wenn man zwei Differentialstruktur hat, konstruiert man mit Rado’s Satz zwei Triangulierungen. Diese (und jede Unterteilung) definieren die jeweiligen Differentialstrukturen. Nach der Hauptvermutung haben wir einen Diffeomorphismus, der eine Unterteilung der einen auf eine Unterteilung der anderen abbildet, und dieser überführt dann auch die eine Differentialstruktur in die andere.

3. #3 Michael K

   25. März 2011

   Wow Thilo… Du hast mir gerade durch den erweiterten Einblick in die Triangulation eine ganze neue Welt von Möglichkeiten eröffnet mein Problem zu lösen 😀

   Danke!!