Nüsse knacken durch Aufweichen.

Wenn man Walnüsse knacken will, sollte man sie vorher einige Tage in heißem Wasse aufweichen – das wird das Knacken der Nüsse erheblich erleichtern.
Ähnlich funktioniert es oft in der Mathematik – statt ein Problem direkt zu knacken, weicht man es auf: man entwickelt eine allgemeine Theorie, aus der sich das Problem dann als einfacher Spezialfall ergibt.

Der Jordansche Kurvensatz: Jede geschlossene Kurve zerlegt die Ebene in zwei Gebiete (ein Inneres und ein Äußeres).

britton.disted.camosun.bc.ca/jbjordan.htm

Letzte Woche hatten wir etwas über die Historie von Jordans ursprünglichem Beweis geschrieben. (Und in TvF 166 hatten wir Thomassen’s Beweis erwähnt, daß der Jordansche Kurvensatz äquivalent zum Satz von Kuratowski.)

Eigentlich lernt man aber heute in den Topologie-Büchern keinen dieser (elementaren, aber schwierigen und aufwändigen) Beweise, sondern einen sehr viel kürzeren Beweis, der allerdings “Homologietheorie” benutzt.

Wegzusammenhangskomponenten

Zunächst, um das Problem (die Aussage des Jordanschen Kurvensatzes) formal zu fassen, braucht man den Begriff der Wegzusammenhangskomponenten eines Raumes X.
Definition: Zwei Punkte x,y aus X gehören zur selben Wegzusammenhangskomponente, wenn sie sich durch einen stetigen Weg verbinden lassen, d.h. wenn es eine stetige Abbildung f:[0,1]–>X mit f(0)=x, f(1)=y gibt.

Zwei Punkte in derselben Wegzusammenhangskomponente.

Die Aussage des Jordanschen Kurvensatzes, präzise formuliert, ist dann: wenn K eine geschlossene Kurve in der Ebene R² ist, dann hat X:=R²-K genau zwei Wegzusammenhangskomponenten.

Nullte Homologie

Diese Behauptung möchte man nun aufweichen, also eine allgemeine (kompliziertere) Theorie entwickeln, aus der sich der Jordanscher Kurvensatz dann auf einfache, natürliche Weise als direkte Folgerung ergibt.

Die folgende Konstruktion sieht vielleicht etwas abstrakt oder künstlich aus, aber sie ist als Spezialfall einer allgemeineren Theorie letztlich sehr nützlich:

Für einen Raum X betrachten wir alle formalen Summen a₁x₁+…+a_nx_n, wobei x₁,…,x_n Punkte in X und a₁,…,a_n ganze Zahlen sind. Solche formalen Summen von Punkten nennt man 0-Ketten. Die Menge der 0-Ketten ist eine abelsche Gruppe (man kann zwei 0-Ketten auf die offensichtliche Weise addieren), die man C₀(X) nennt.

Für einen 1-dimensionalen Weg e:[0,1]—>X ist der Rand δe=e(1)-e(0). Für eine formale Summe 1-dimensionaler Wege s=a₁e₁+…+a_ne_n (eine sogenannte 1-Kette) definiert man dann ihren Rand als δs=a₁δe₁+…+a_nδe_n. (Der Rand ist also eine formale Summe von Punkten, d.h. eine 0-Kette. Bezeichnen wir mit C₁(X) die Menge der 1-Ketten, dann haben wir eine Abbildung δ:C₁(X)—>C₀(X) definiert.)

Man sagt dann, daß zwei 0-Ketten a₁x₁+…+a_nx_n und b₁y₁+…+b_ny_n homolog sind, wenn ihre Differenz Rand einer 1-Kette ist, also wenn es eine 1-Kette s mit δs=(a₁x₁+…+a_nx_n) – (b₁y₁+…+b_ny_n) gibt.

Und die 0-the Homologiegruppe H₀(X) des Raumes X ist, per Definition, die Menge der 0-Ketten modulo homologie, d.h. H₀(X)=C₀(X)/δ(C₁(X)).

Soweit scheinbar eine sehr abstrakte Konstruktion, aber man kann leicht erklären, was sie anschaulich bedeutet:
wenn man zwei Punkte x₁ und x₂ in derselben Wegzusammenhangskomponente des Raumes X nimmt, dann sind sie homolog, denn der sie verbindende Weg e erfüllt ja geradeδe=x₂-x₁;
wenn ich also Punkte x₁, …, x_n in derselben Wegzusammenhangskomponente habe, dann ist a₁x₁+…+a_nx_n homolog zu (a₁+…+a_n)x₁, denn jedes x_i ist ja homolog zu x₁.
Ergo kann ich zu jeder Wegzusammenhangskomponente einen Punkt fest wählen und bekomme dann, daß jede 0-Kette homolog zu einer Summe (ganzzahliger Vielfacher) dieser festgewählten Punkte ist.
Wenn der Raum d Wegzusammenhangskomponenten hat, dann ist also jede Homologieklasse von 0-Ketten bestimmt durch d ganze Zahlen – H₀(X) ist also isomorph zu Z^d.

Also: die 0-te Homologie zählt gerade die Anzahl der Wegzusammenhangskomponenten – man hat H₀(X)=Z^d genau dann, wenn X d Wegzusammenhangskomponenten hat.

Die Behauptung des Jordanschen Kurvensatzes läßt sich dann so umformulieren: für jede geschlossene Kurve K in der Ebene R², und X:=R²-K, ist H₀(X)=Z².

Mit dieser Umformulierung hat man natürllich noch nichts gewonnen, aber man kann den Satz jetzt in eine allgemeine Theorie einbetten und versuchen, ihn als Spezialfall allgemeinerer Sätze zu beweisen. Dazu nächste Woche.

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