Wir definieren nun: sei n eine natürliche Zahl, Z_n(F) die Gruppe der n-dimensionalen Zykel in F und B_n(F) die Untergruppe der n-dimensionalen Ränder in F, dann ist die n-te Homologie H_n(F) definiert als Quotientengruppe H_n(F):=Z_n(F)/B_n(F).

Beispiele

Die beiden Bilder oben suggerieren, daß die 1-te Homologie H₁(F) einer Fläche F die Anzahl der ‘1-dimensionalen’ Löcher mißt. (Besser sollte man vielleicht sagen: die Homologie gibt eine präzise mathematische Definition, mit der man die vage intuitive, nicht präzis zu fassende, Vorstellung davon, was ein 1-dimensionales Loch sein sollte, in einen mathematisch klar definierten Rahmen pressen kann.)
Tatsächlich ist es so, daß man für die Ebene H₁(R²)=0, für den Torus aber H₁(T)=Z² hat.
Allgemein, für eine Fläche F mit g Henkeln, ist H₁(F)=Z^2g. Also für die Sphäre H₁(S)=0, für den Torus H₁(T)=Z², für die Brezel H₁(B)=Z⁴, für die Fläche mit drei Henkeln ist H₁(F)=Z⁶ etc.

Jedenfalls zeigen diese Beispiele, daß die Homologiegruppen ähnlich wie die Fundamentalgruppe (TvF 31) etwas über die topologische Kompliziertheit eines Raumes aussagen. (Die 1. Homologiegruppe hängt übrigens eng mit der Fundamentalgruppe zusammen, sie ist nämlich isomorph zur Abeliansisierung der Fundamentalgruppe.) Aber sie beschreiben nicht nur die topologische Kompliziertheit eines Raumes, sondern man kann sie (bzw. ihre Eigenschaften, die man dann, einmal bewiesen, immer wieder verwenden kann) benutzen, um sehr einfache Beweise zu eigentlich schwierigen topologischen Problemen zu bekommen, wie wir es nächste Woche am Beispiel des Jordanschen Kurvensatzes sehen werden.

Die anderen Homologiegruppen der abgebildeten Flächen sind übrigens leicht zu berechnen: H₀(F)=Z (wir hatten ja letzte Woche gesagt, daß für einen Raum mit d Wegzusammenhangskomponenten die nullte Homologie immer Z^d ist), H₂(F)=Z (einen Zykel, der kein Rand ist, erhält man, indem man die Fläche in Dreiecke zerlegt) und H_i(F)=0 für alle i>2.

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