Beweis des Jordanschen Kurvensatzes in 5 Zeilen.

britton.disted.camosun.bc.ca/jbjordan.htm

In den letzten Wochen ging es um den Jordanschen Kurvensatz: jede geschlossene Kurve K zerlegt die Ebene R² in 2 Teile.

Für diese Tatsache gibt es komplizierte elementare Beweise – es gibt aber auch einen sehr kurzen Beweis, der verschiedene Eigenschaften der sogenannten Homologiegruppen H_n(X) eines Raumes X benutzt, die wir letzte Woche definiert hatten.

Die Definition der Homologiegruppen braucht man für diesen Beweis, wie auch für viele andere Anwendungen der Homologietheorie, gar nicht zu kennen – man benötigt nur einige ihrer Eigenschaften.

Die Eigenschaften der Homologiegruppen werden in den Eilenberg-Steenrod-Axiomen zusammengefaßt, die ich hier jetzt nicht aufliste, sondern für die ich auf den Wikipedia-Artikel¹ verweise. Speziell für den Beweis des Jordanschen Kurvensatzes braucht man das 5.Axiom (Exaktheit²) und den Lefschetz-Dualitätssatz (dessen Beweis man in fast jedem Topologie-Buch findet), außerdem natürlich noch die Berechnung der Homologiegruppen von R² und S¹, die aber direkt aus den Axiomen folgt.

Beweis

Vorletzte Woche hatten wir erklärt, daß die Aussage des Jordanschen Kurvensatzes (R²-K hat zwei Wegzusammenhangskomponenten) äquivalent zu der Behauptung H₀(R²-K)=Z² ist.

Man muß also nur diese Gleichung beweisen und dies geht mit den bekannten Eigenschaften der Homologiegruppen sehr kurz und einfach wie folgt:

Die erste Zeile des Beweises ergibt sich aus dem 5. Eilenberg-Steenrod-Axiom (Exaktheit). Die Gruppen H₁(R²), H₀(R²), H₀(R², R²-K) lassen sich leicht aus den Axiomen (oder auch der Definition) berechnen. Die Gruppe H₁(R², R²-K) berechnet man mit dem Lefschetz-Dualitätssatz, welcher besagt, daß für eine d-dimensionale Mannigfaltigkeit M und eine kompakte Teilmenge K immer H_d-p(M,M-K)=H^p(K) gilt, wobei auf der rechten Seite die p-te Cech-Kohomologie von K steht. Hier haben wir d=2, p=1 und K ist ein Kreis und es ist bekannt, daß die 1-te Kohomologie des Kreises isomorph zu Z ist.
Damit bekommt man also die exakte Sequenz in der vorletzten Zeile und aus dieser folgt H₀(R²-K)=Z², denn Z² ist die einzige Erweiterung³ von Z mit Z.

Also: ein Beweis des Jordanschen Kurvensatzes in 5 Zeilen, der freilich eine vorher bereits ausgebaute Theorie benutzt. “The point of understanding mathematics is to become better able to solve problems.” (Gowers)

¹Die letzte Woche definierten Homologiegruppen erfüllen diese 5 Axiome und zusätzlich noch das Axiom H₀(P)=Z für den 1-Punkt-Raum P. Durch diese Axiome sind sie dann auch eindeutig festgelegt.
(Wenn man auf das zusätzliche Axiom H₀(P)=Z verzichtet, bekommt man sogenannte verallgemeinerte Homologietheorien, die dieselben 5 Eilenberg-Steenrod-Axiome erfüllen, wo man aber für H₀(P) eine andere Gruppe festlegt.)

² Zu der Bezeichnung H_*(X,A), die im 5.Axiom (Exaktheit) verwendet wird: das ist die sogenannte relative Homologie (für einen Raum X und einen Unterraum A). Der Unterschied zur Definition von H_*(X) (letzte Woche) ist: Zykel können einen Rand haben, aber dieser muß in A liegen; Ketten gelten schon dann als Rand, wenn sie die Summe aus dem Rand einer Kette (in X) und einer beliebigen anderen Kette in A sind.
Für “vernünftige” Unterräume A (d.h. wenn A eine Umgebung hat, die sich auf A kontrahieren läßt) ist H_*(X,A)=H_*(X/A), wobei X/A der Raum ist, den man aus X erhält, indem man alle Punkte aus A identifiziert.

³ Das folgt zum Beispiel aus Ext¹(Z,Z)=H²(Z,Z)=H²(S¹;Z)=0, es gibt natürlich auch elementarere direkte Beweise.

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