Was Früchteverkäufer seit Jahrhunderten wissen, hat endlich auch die Mathematik bewiesen: Platzsparender als bei den kunstvoll aufgetürmten Orangen-Pyramiden auf dem Wochenmarkt kann man Kugeln nicht aufeinanderschichten. schrieb die ZEIT vor 12 Jahren. Jetzt gibt es den Beweis auch als populärwissenschaftliches Buch: “Die Keplersche Vermutung”, die deutsche Übersetzung des 2003 erschienenen “Kepler’s Conjecture” ist nach “Die verflixte Mathematik der Demokratie” das zweite Buch George Szpiros im Springerverlag.
Bei der Kepler-Vermutung geht es um die Packungsdichte von Kugelpackungen im Raum.
Die hexagonale Packung (Bild unten) hat ebenso wie die kubisch-flächenzentrierte Packung eine Packungsdichte von gut 74%.
Die Kepler-Vermutung besagt, daß es keine dichteren Kugelpackungen (mit Kugeln gleicher Größe) gibt. Bewiesen wurde sie 1998 mit Computerhilfe von Thomas Hales. (Es hat sich bisher niemand gefunden, der diesen Computerbeweis in allen Details überprüft hat. Hales arbeitet inzwischen an einem “formalen” Beweis.)
Die Geschichte der Kepler-Vermutung beginnt Ende des 16. Jahrhunderts. Der englische Seefahrer Walter Raleigh fragte seinen mathematischen Assistenten Thomas Harriot nach einer Formel für die Anzahl der Kanonenkugeln in einem gegeben Stapel. Harriot lieferte ihm diese Formel und fragte sich dann, wie man die Anzahl der Kanonenkugeln im Laderaum eines Schiffes maximiert. Diese Frage formulierte er in einem Brief an Johannes Kepler, der daraufhin 1611 die Broschüre “Vom sechseckigen Schnee” veröffentlichte mit der (vermuteten) optimalen Anordnung von Kugeln.
Szpiros Buch beschreibt die Geschichte der Kepler-Vermutung über die Jahrhunderte, die handelnden Personen und die historischen Umstände ebenso wie die Probleme der vielen fehlerhaften Beweise und den Zusammenhang der Kepler-Vermutung mit anderen mathematischen Problemen, etwa Gaußens Theorie der quadratischen Formen.
Es ist völlig hoffnungslos, den Inhalt des Buches hier im Detail wiedergeben zu wollen. Es geht um die Lebensläufe von Johannes Kepler und Tycho Brahe, um die Zusammensetzung von Schneekristallen, dann um das analoge 2-dimensionale Problem (optimale Kreispackungen in der Ebene), in diesem Zusammenhang um Albrecht Dürer, Joseph-Louis Lagrange, Axel Thue und Herrmann Minkowski, auch um Fejes Toth, Segre und Mahler, dann zurück in 3 Dimensionen um den Newton-Gregory-Disput um die Anzahl von Kugeln mit gleichem Radius, die in Kontakt mit einer mitteren Kugel gebracht werden können (das sogenannte Kußproblem), fehlerhafte und richtige Beweise des Kußproblems, dessen höherdimensionale Analoga dann zum Leech-Gitter führen, dann um Gauß und seine Arbeiten über quadratische Formen, aus denen sich ergibt, daß es keine gitterförmigen Anordnungen gibt, die dichter sind als von Kepler vermutet, um Hilbert und sein 18. Problem, auch um den Wettlauf um die kleinste obere Schranke, und schließlich auf den letzten 80 Seiten um den Beweis der Keplerschen Vermutung durch Thomas Hales, wobei die verwendeten Methoden wie Voronoi-Zellen und Delaunay-Triangulierungen und deren Kombination durch Hales ebenso ausführlich dargestellt werden wie auch noch die Geschichte der Mathematischen Optimierung und der “Annals of Mathematics”, und auch der Beweis der Honigwaben-Vermutung und verschiedene außermathematische Anwendungen von Packungsproblemen werden ebenso erörtert wie die Problematik computer-gestützter Beweise.
Für ein populärwissenschaftliches Werk gibt es im Buch ungewöhnlich viel Mathematik, zum großen Teil ausgelagert in den gut 50-seitigen Anhang mit vielen Rechnungen, Formeln und Beweisen. Das bietet sich bei diesem Thema natürlich auch an, denn vieles aus Stereometrie und sphärischer Trigonometrie läßt sich ja bereits mit Schulkenntnissen nachvollziehen. Der Autor gibt sich viel Mühe mit der verbalen Beschreibung geometrischer Strukturen, aber manchmal wäre eine kurze Formel zusätzlich zur verbalen Beschreibung doch ganz hilfreich gewesen. Natürlich kann man nicht erwarten, daß Beweise mathematisch vollständig wiedergegeben werden. Allerdings hätte ich mir doch gewünscht, daß zumindest das Problem, um das es die ganze Zeit geht, einmal mathematisch vollständig formuliert wird: was bedeutet ‘dichteste Kugelpackung’ im unendlichen drei-dimensionalen Raum? Natürlich braucht man dafür Grenzwerte und natürlich wird das nicht jeder Leser verstehen, aber irgendwo hätte es schon mal vorkommen sollen.
Wie immer in Büchern von George Szpiro erfährt man viel Anekdotisches über die handelnden Personen, auch vieles, was mit dem eigentlichen Thema wenig zu tun hat. Man kann das Buch also auch ganz losgelöst vom mathematischen Inhalt als Geschichts- und Anekdotenbuch lesen. So, nur um ein Beispiel herauszugreifen, erfährt man im 8.Kapitel, in dem es um Hilberts 18.Problem geht, außerdem noch, daß Hilbert kein so guter Student war wie Minkowski, daß er der Autor des Zahlbericht und der Grundlagen der Geometrie ist, daß es zwischen Einstein und Hilbert keinen Prioritätsstreit gab, wie Hilbert auf den Niedergang der Göttinger Mathematik im 3. Reich reagierte, daß er philosophisch ein Gegner von Du Bois-Reymond war, von Poincaré zum ICM in Paris eingeladen wurde (auf dem einige Mathematiker mit dem begrenzten Gesellschaftsprogramm unzufrieden waren) und dort schließlich eine Liste von Problemen vortrug, von denen einige und insbesondere eben das 18. dann ausführlich erläutert werden.
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