Hopf-Faserung, Hopf-Link, Hopf-Invariante.
Letzte Woche hatten wir (bei der Beschreibung des komplexen Atlas der Sphäre) auch die Hopf-Faserung erwähnt und dieses Video von Niles Johnson verlinkt:
Beschreibung auf www.nilesjohnson.net/hopf.html.
Was zeigt das Video?
| Es geht um die Hopf-Faserung, also die rechts abgebildete Faserung der 3-dimensionalen Sphäre in Kreise. (Die 3-dimensionale Sphäre denkt man sich als 1-Punkt-Kompaktifizierung des 3-dimensionalen Raumes, also R3 zusammen mit einem Punkt im Unendlichen. Im Bild rechts geht die rote Gerade durch den Punkt im Unendlichen, gibt also einen roten Kreis in der 3-dimensionalen Sphäre. Das Bild zeigt also tatsächlich eine Zerlegung der 3-dimensionalen Sphäre in Kreise.) |
Wie wir letzte Woche erwähnt hatten, erhält man die Hopf-Faserung durch eine stetige Abbildung p:S3—>S2: jede Faser der Hopf-Faserung (also jeder Kreis) wird durch p jeweils auf einen Punkt in S2 abgebildet.
Das Video zeigt rechts unten die 2-dimensionale Sphäre (man braucht ein wenig Phantasie, um die Sphäre zu erkennen) und dann links oben jeweils in passenden Farbe diejenigen Kreise (in der 3-Sphäre), die auf die Punkte der jeweiligen Farbe in der 2-Sphäre abgebildet werden.
Die Hopf-Faserung ist nicht einfach das Produkt S2xS1, sondern es handelt sich hier um ein Beispiel eines nicht-trivialen Faserbündels (TvF 113)).
Das sieht man am einfachsten, wenn man sich zwei verschiedene Fasern anschaut: diese sind wie im Bild unten verlinkt, was bei einer trivialen Faserung (d.h. dem Produkt S2xS1) natürlich nicht der Fall wäre.
Zwei Kreise, die wie im Bild verlinkt sind, bezeichnet man übrigens als Hopf-Link.
Die beiden Kreise haben offensichtlich Verschlingungszahl 1. (Die Verschlingungszahl zweier Kreise hatten wir mal in TvF 118 definiert. Anschaulich ist sie das, was man erwarten würde:
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Allgemein, wenn man irgendeine stetige Abbildung f:S3—>S2 hat, definiert man die Hopf-Invariante H(f) als Verschlingungszahl der Urbilder zweier Punkte.
(Für fast alle Punkte, genauer alle regulären Werte, hat man als Urbild einen Kreis, so daß man die Verschlingungszahl dann definieren kann und die Verschlingungszahl der Urbilder nicht von den gewählten regulären Werten abhängt.)
Hopf hatte diese Invariante 1931 benutzt, um stetige Abbildungen f:S3—>S2 bis auf Homotopie zu klassifizieren (d.h. um die Homotopiegruppe π3S2 zu berechnen): er hatte bewiesen, daß zwei Abbildungen f:S3—>S2 genau dann homotop sind, wenn sie die gleiche Hopf-Invariante haben.
Weil die Hopf-Invariante alle ganzzahligen Werte annehmen kann, folgt daraus π3S2=Z.
(Das war das historisch erste Beispiel einer nichttrivialen Homotopiegruppe πmSn mit m>n. Hopf hatte zuvor schon bewiesen, daß für m=n Abbildungen Sn—>Sn durch ihren Abbildungsgrad bis auf Homotopie klassifiziert werden, also πnSn=Z.)
Nach einem Satz von Serre ist allgemein (für n gerade) π2n-1Sn=Z die einzige unendliche Homotopiegruppe πmSn mit m>n. Das wirft dann natürlich die Frage auf, was die “einfachste” stetige Abbildung S2n-1—>Sn (der “Erzeuger” von π2n-1Sn) ist.
Man kann die Hopf-Inariante H(f) allgemein für stetige Abbildungen f:S2n-1—>Sn definieren: die Urbilder zweier regulärer Werte sind (n-1)-dimensionale Untermannigfaltigkeiten in S2n-1 und deren Verschlingungszahl ist per Definition die Hopf-Invariante. Die Frage nach der “einfachsten” stetigen Abbildung S2n-1—>Sn ist dann also die Frage nach einer Abbildung mit Hopf-Invariante 1. (Es ist nicht schwer, Abbildungen mit Hopf-Invariante 2 zu konstruieren.)
Die Hopffaserung war konstruiert mit Hilfe der komplex-projektiven Gerade als Abbildung S3–>P1C=S2. Analog kann man mit Hilfe der quaternionisch-projektiven resp. der Cayley-projektiven Gerade Hopf-Faserungen S7–>P1H=S4 resp. S15–>P1O=S8 konstruieren und diese haben ebenfalls Hopf-Invariante 1.
Es stellt sich aber heraus, daß dies die einzigen Beispiele von Abbildungen mit Hopf-Invariante 1 sind. Das wurde von Adams 1958 bewiesen mit Hilfe sekundärer Kohomologie-Operationen, 1966 gaben dann Adams und Atiyah einen wesentlich kürzeren Beweis, indem sie K-Theorie-Operationen statt Kohomologie-Operationen benutzten.
Die (Nicht-)Existenz von Abbildungen mit Hopf-Invariante 1 hat Anwendungen auf grundlegende mathematische Fragen, u.a. über Vektorfelder auf Sphären und über Divisionsalgebren – man kann sie benutzen, um zu zeigen, daß es nullteilerfreie Multiplikationen auf Rn nur für n=1,2,4,8 geben kann, die Liste der bekannten Divisionsalgebren R, C, H, O sich also nicht weiter fortsetzen läßt. Dazu nächste Woche.
Im Film Dimensions gibt es übrigens auch ein sehr ausführliches Kapitel über die Hopf-Faserung (beginnt bei 1:30):
Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177, Teil 178, Teil 179, Teil 180, Teil 181, Teil 182
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