Flächen um Sphären wickeln.
Letzte Woche hatten wir uns mit der Klassifikation (bis auf Homotopie) der Abbildungen f:S2–>S2 befaßt:
Jeder solchen Abbildung konnte man ihren Abbildungsgrad deg(f) zuordnen, dieser war eine ganze Zahl und homotope Abbildungen hatten denselben Abbildungsgrad. Umgekehrt (das ist ein nicht-trivialer Satz von Hopf) gilt auch, daß Abbildungen homotop sein müssen, wenn sie denselben Abbldungsgrad haben. Man hat also eine 1:1-Entsprechung zwischen den Homotopieklassen von Abbildungen f:S2–>S2 und ihren Abbildungsgraden.
Man kann auch zu jeder ganzen Zahl d eine Abbildung f:S2–>S2 mit deg(f)=d konstruieren. Einfachstes Beispiel ist die in Kugelkordinaten durch f(r,φ,θ)=(r,dφ,θ) gegebene Abbildung:
f(r,φ,θ)=(r,2φ,θ)
Man hat also schlußendlich eine durch den Abbildungsgrad vermittelte 1:1-Entsprechung zwischen den Homotopieklassen von Abbildungen f:S2–>S2 und den ganzen Zahlen Z.
Eine andere Konstruktion einer Abbildung f:S2–>S2 zu vorgegebenem Abbildungsgrad d geht wie folgt. Man nimmt sich d Punkte in (der ersten) S2 und zu diesen jeweils Kreis-Umgebungen. (Die d Kreisscheiben wählt man klein genug, so daß sie alle disjunkt sind.)
Sei NP der Nordpol in (der zweiten) S2, dann ist S2-NP, also die Sphäre ohne den Nordpol, homöomorph zu einer Kreisscheibe, wie man mit stereographischer Projektion (Bild unten, vgl. TvF 110 oder TvF 159) sehen kann. Also kann man f definieren, indem man die d Kreisscheiben mittels Homöomorphismen auf S2-NP und alle restlichen Punkte der (ersten) S2 auf den Nordpol abbildet. Die so definierte Abbildung hat offensichtlich Abbildungsgrad d. (Der Nordpol ist kein regulärer Wert. Alle anderen Bildpunkte sind reguläre Werte und haben genau d Urbilder.)
Der Vorteil dieser zweiten Konstruktion ist, daß sie analog für beliebige Flächen funktioniert:
Sei F irgendeine Fläche, was ist die Menge [F,S2] von Homotopieklassen von Abbildungen f:F–>S2?
Mit wörtlich demselben Beweis wie letzte Woche für F=S2 hat man, daß homotope Abbildungen F–>S2 denselben Abbildungsgrad haben. Auch die Umkehrung läßt sich beweisen: Abbildungen mit demselben Abbildungsgrad sind homotop. (Das ist ein Spezialfall des wesentlich allgemeineren Pontrjagin-Thom-Theorems, dazu nächste Woche.) Und man kann auch genauso wie eben zu jeder ganzen Zahl d eine Abbildung f:F–>S2 mit deg(f)=d konstruieren – fast wörtlich genauso wie oben:
Man nimmt sich d Punkte in F und zu diesen jeweils Kreis-Umgebungen. (Die d Kreisscheiben wählt man klein genug, so daß sie alle disjunkt sind.) Sei NP der Nordpol in S2, dann ist S2-NP, also die Sphäre ohne den Nordpol, homöomorph zu einer Kreisscheibe. Also kann man f definieren, indem man die d Kreisscheiben mittels Homöomorphismen auf S2-NP und alle restlichen Punkte von F auf den Nordpol abbildet. Die so definierte Abbildung hat offensichtlich Abbildungsgrad d. (Der Nordpol ist kein regulärer Wert. Alle anderen Bildpunkte sind reguläre Werte und haben genau d Urbilder.)
Komplizierter wird es freilich, wenn man sich allgemeiner, für zwei Flächen Fg, Fh von höherem Geschlecht g bzw. h, fragt, was die Menge [Fg, Fh] der Homotopieklassen von Abbildungen f:Fg–>Fh ist.
Für g < h ist es einfach so, daß alle Abbildungen homotop zur konstanten Abbildung sind (insbesondere Abbildungsgrad 0 haben), also [Fg, Fh] = 0. Das sieht man zum Beispiel mit der Formel vol(Fg)=4(g-1) für das hyperbolische Volumen und der offensichtlichen Tatsache, daß es eine Abbildung mit deg(f)=d nur geben kann, wenn vol(Fg)≥d.vol(Fh) ist.
Komplizierter wird es aber für g≥h. Wir hatten uns in dieser Reihe ziemlich lange (TvF 140 bis TvF 157) den Abbildungsklassengruppen von Flächen gewidmet, also den (orientierungs-erhaltenden) Homöomorphismen modulo Homotopie. (Orientierungserhaltende Homöomorphismen haben offensichtlich Abbildungsgrad 1. Im Fall der Sphäre hat man als Abbildungsklassengruppe einfach die triviale Gruppe, weil es nur eine Homotopieklasse mit Abbildungsgrad 1 gibt.) Schon in diesem sehr speziellen Fall erhielt man für g≥2 schwer zu beschreibende Gruppen von Homotopieklassen. (Insbesondere sind für g≥1 nicht alle Abbildungen mit Abbildungsgrad 1 zueinander homotop.)
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