Windstille Punkte auf gekämmten Kokosnüssen.
Letzte Woche hatten wir das Buch “Euler’s Gem” von David Richeson rezensiert. In diesem Buch ging es um die Eulersche Polyederformel und ihre Verallgemeinerungen, unter anderem im Kapitel 19 “Combing the Hair on a Coconut” um den Zusammenhang zwischen Euler-Charakteristik und Nullstellen von Vektorfeldern, insbesondere die Unmöglichkeit auf einer Kokosnuß (d.h. einer Sphäre) ein Vektorfeld ohne Nullstellen zu finden. (‘Vektorfeld’ heißt per Definition: der Vektor ist in jedem Punkt tangential an die Sphäre.)
Statt mit Kokosnüssen wird die Frage, ob es auf der Sphäre ein Vektorfeld ohne Nullstellen gibt, traditionell meist mit Igeln visualisiert:
(Die Stacheln des Igels sind kein Vektorfeld, denn sie stehen ab und sind nicht tangential an die Oberfläche des Igels. Kann man den Igel kämmen, so daß danach alle Stacheln tangential sind? Nein, denn dann hätte man ein Vektorfeld ohne Nullstellen auf der Igeloberfläche, die ja topologisch eine Sphäre ist.)
In der Wikipedia zum Beispiel steht dieser Satz als Satz vom Igel:
Der Satz vom Igel (auch als Satz vom gekämmten Igel bekannt, im Englischen hairy ball theorem) oder Problem des globalen Windes ist ein Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie. Diese Aussage wird auch Satz von Poincaré-Brouwer genannt, da Luitzen Egbertus Jan Brouwer diesen 1912 mit Hilfe des Satzes von Poincaré bewiesen hat.
Auf einer Sphäre Sn gibt es genau dann ein tangentiales, stetiges, nirgends verschwindendes Vektorfeld, wenn n ungerade ist.
Insbesondere gibt es ein solches Vektorfeld nicht auf der 2-Sphäre (der Oberfläche der dreidimensionalen Kugel), woraus der folgende Merkspruch folgt:
Jeder stetig gekämmte Igel hat mindestens eine kahle Stelle.
Eine solche kahle Stelle wird auch als „Glatzpunkt” bezeichnet.
Aus dem gleichen Grund kann prinzipiell nicht überall auf der Erde zugleich Wind wehen – es muss auf der Oberfläche eines dreidimensionalen kugelförmigen Planeten immer windstille Stellen geben (daher auch die Bezeichnung: Problem des globalen Windes). Eine ebene Fläche kann dagegen problemlos stetig ohne kahle Stellen gekämmt werden; ebenso ein Torus.
Der Satz vom Igel ist eine Illustration des Satzes von Poincaré-Hopf.
“Problem des globalen Windes” hatte ich als Bezeichnung für diesen Satz bisher noch nicht gehört, erklärt sich aber daraus, daß es wegen dem Igelsatz jederzeit irgendwo windstille Punkte gibt. Im Bild unten sind das Nord- und Südpol.
So ganz korrekt ist diese Interpretation mit der Windstille aber nicht, denn der Wind ist eigentlich kein Vektorfeld. Vektorfelder müssen, per Definition, immer tangential an die Fläche sein. Die Windrichtung ist aber nicht immer tangential zur Erdoberfläche, der Wind kann auch nach oben oder unten wehen.
Immerhin kann man mit dem Brouwerschen Fixpunktsatz beweisen, daß “es irgendwo in der Welt eine Stelle gibt, an dem der Wind nach oben weht. Diese kann beispielsweise im Inneren eines Tornados liegen. Die Tangentialkomponenente des Windes ist dort null, d.h. der Satz vom Igel gilt, aber ich möchte nicht an dieser Stelle stehen.” (Quelle)
Ganz allgemein sagt der Satz von Hopf-Poincaré, daß die Summe der Indizes der Nullstellen eines Vektorfeldes gleich der Euler-Charakteristik der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit ist. Was genau der Index einer Nullstelle ist (und warum der Satz von Hopf-Poincaré richtig ist) werden wir nächste Woche beschreiben. Auf jeden Fall, auch ohne die Definition des Index zu kennen, folgt aus dem Satz von Hopf-Poincaré offensichtlich: Wenn es auf einer Manngfaltigkeit ein Vektorfeld ohne Nullstellen gibt, dann ist die Euler-Charakteristik gleich Null.
Weil die Euler-Charakteristik der 2-dimensionalen Sphäre gleich 2 ist (TvF 4), kann es also auf der 2-dimensionalen Sphäre kein Vektorfeld ohne Nullstellen geben. Der Igel (oder die Kokosnuss) läßt sich nicht kämmen und es muß auf dem Globus immer mindestens einen windstillen Punkt (oder zumindest einen Tornado) geben.
Der Igelsatz ist ein reiner Existenzsatz: er sagt, daß es jederzeit einen windstillen Punkt gibt, aber nicht, wie man diesen bestimmt. Den windstillen Punkt tatsächlich zu finden scheint auch für erfahrene Metereologen nicht so einfach zu sein, wie man dieser Antwort auf eine Frage bei ‘Ask a scientist!’ entnehmen kann:
Dear Alexander-
It might depend on how you define windless. And I am not sure records are kept for this purpose. If you define most windless as the location with the most hours of calm winds, that would be different from a location with the lowest annual average wind speed.
Some likely candidates for most windless would be land locations near the equator, where the surface pressure gradient is very weak, and large forests and vegetation would inhibit air movement. Other candidate locations would be in the center of large high pressure areas over oceans in the tropics, where winds are light and variable for days and weeks at a time.
Wendell Bechtold, meteorologist
Forecaster, National Weather Service
Weather Forecast Office, St. Louis, MO
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