Topologie von Flächen CCXVII

Wieviel kritisches muß es mindestens geben?

In TvF 209 hatten wir gesehen, dass es für einen kritischen Punkt einer Morse-Funktion auf einer Fläche 3 Möglichkeiten gibt:

Eine Funktion auf einer Fläche hat (wie im Bild oben) Minima, Sattelpunkte und Maxima – sogenannte (nichtdegenerierte) kritische Punkte. Wieviele solcher kritischen Punkte muß es (auf einer vorgegebenen Fläche) mindestens geben?
Ist das Bild unten (die Höhenfunktion auf dem Torus mit 4 kritischen Punkten) optimal oder gibt es auf dem Torus Funktionen mit weniger kritischen Punkten?
Die Antwort auf die 2.Frage ist Nein, wenn man nur Morsefunktionen betrachtet, also Funktionen, bei denen alle kritischen Punkte nichtdegeneriert (d.h. wie im Bild oben entweder ein Maximum, ein Sattelpunkt oder ein Minimum) sind.

Quelle

Letzte Woche hatten wir gesehen, wie man aus den kritischen Punkten einer Morsefunktion auf einer Fläche die Homologie der Fläche berechnen kann.
Die Konstruktion war i.W. wie folgt: man nimmt den Kettenkomplex (C_*,δ), wobei C_k von den kritischen Punkten vom Index k erzeugt wird (die Dimension von C_k ist also die Anahl der kritischen Punkte vom Index k) und der Randoperator zählt (mit Vorzeichen gemäß Orientierung) die Anzahl der Flußlinien des (negativen) Gradientenvektorfeldes, d.h. wenn es c_pq (mit Vorzeichen gemäß Orientierung gezählte) Flußlinien von p nach q gibt, dann hat δp einen Summanden c_pqq. Die Homologie dieses Komplexes heißt Morse-Homologie und stimmt mit der üblichen (in TvF 170 definierten) Homologietheorie überein.

Eine offensichtliche Folgerung aus dieser Konstruktion ist die Morse-Ungleichung: die Anzahl der kritischen Punkte vom Index k ist mindestens so groß wie die Dimension der k-ten Homologie.
(Denn die Homologie ist ja ker(δ)/im(δ), hat also höchstens die Dimension von ker(δ). Letzteres ist ein Unterraum von C_k, hat also höchstens die Dimension von C_k – die Dimension von C_k ist aber nach Konstruktion die Anzahl der kritischen Punkte vom Index k.)

Wegen H₁(T²)=Z² muß also jede Morsefunktion auf dem Torus mindestens zwei kritische Punkte vom Index 1 haben. (Außerdem natürlich mindestens ein Maximum (kritischer Punkt vom Index 2) und mindestens ein Minimum (kritischer Punkt vom Index 0), was natürlich ohnehin klar ist. Insgesamt also mindestens 4 kritische Punkte)
Das Bild oben – die Höhenfunktion auf dem Torus – zeigt eine Morsefunktion mit insgesamt 4 kritischen Punkten. Durch Einbauen zusätzlicher ‘Dellen’ (ähnlich wie in TvF 212) kann man Höhenfunktionen mit mehr als 4 kritischen Punkten bekommen, aber eben niemals weniger.

Analog für eine Fläche mit g Henkeln ist H₀=Z, H₁=Z^2g, H₂=Z, jede Morsefunktion auf dieser Fläche hat also mindestens 2g+2 kritische Punkte.

Die Morse-Ungleichungen lassen sich durchaus auch ohne Morse-Homologie beweisen, andere Beweise findet man zum Beispiel im Buch von Milnor (Kapitel 1.5) oder in Dubrovin-Novikov-Fomenko (Teil 3, §16). Aber Wittens Argument mittels Morse-Homologie ist natürlich insofern schöner (wenn auch beweistechnisch nicht wirklich einfacher), daß es einen unmittelbar einsichtigen Grund für die Richtigkeit der Morseungleichungen liefert: die Anzahl der kritischen Punkte ist die Dimension eines Kettenkomplexes, dessen Homologie gerade die üblichen Homologiegruppen sind.
Der Ansatz, die Morse-Ungleichungen mittels Morse-Homologie zu beweisen, hat inzwischen (vor allem in der symplektischen Topologie) viele weitreichende Verallgemeinerungen im Rahmen der sogenannten Floer-Homologie, einem der aktivsten Forschungsgebiete der letzten 20 Jahre.

Bei den Morse-Ungleichungen hat man natürlich immer die Voraussetzung, daß die Funktion eine Morse-Funktion sei, daß also alle kritischen Punkte nichtdegeneriert sind. Das ist zwar eine ‘generische’ Bedingung (TvF 209), aber schöner wäre natürlich eine Ungleichung für die Anzahl der kritischen Punkte völlig beliebiger Funktionen. Eine solche Ungleichung läßt sich tatsächlich beweisen, als untere Schranke bekommt man die (allerdings schwer zu berechnende) sogenannte Lyusternik-Schnirelman-Kategorie, dazu nächste Woche.

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