Kritische Punkte und die Lusternik-Schnirelman-Kategorie.

Jede differenzierbare Funktion auf einer kompakten Fläche hat mindestens ein Maximum und ein Minimum, also wenigstens zwei kritische Punkte.
Letzte Woche hatten wir geschrieben, daß jede Morsefunktion (d.h. differenzierbare Funktion mit nicht-degenerierten kritischen Punkten) auf einer Fläche mit g Henkeln neben dem Maximum und dem Minimum noch mindestens 2g Sattelpunkte haben muß, also insgesamt mindestens 2g+2 kritische Punkte.

Nun läßt sich jede differenzierbare Funktion mit einer leichten Störung in eine Morsefunktion überführen, aber daraus folgt natürlich nicht, daß auch jede differenzierbare Funktion mindestens 2g+2 kritische Punkte hat: es ist ja möglich, daß sich kritische Punkte der ursprünglichen Funktion nach der leichten Störung in mehrere (nicht-degenerierte) kritische Punkte der Morse-Funktion auflösen.
Tatsächlich kann man für beliebige differenzierbare Funktionen nur eine schwächere Abschätzung der Anzahl der kritischen Punkte beweisen: es stellt sich heraus, daß die Anzahl der kritischen Punkte einer beliebigen differenzierbaren Funktion (auf einer Fläche oder auch einer höher-dimensionalen Mannigfaltigkeit) immer mindestens die Lusternik-Schnirelman-Kategorie der Fläche (oder höher-dimensionalen Mannigfaltigkeit) ist.

Lusternik-Schnirelman-Kategorie

Lusternik und Schnirelman hatten 1929 in einer differentialgeometrischen Arbeit eine topologisch definierte untere Schranke für die Anzahl der kritischen Punkte gefunden, diese topologische Invariante nannten sie Kategorie.
Die Bezeichnung ‘Kategorie’ mag irritieren, denn unter Kategorien versteht man in der Topologie sonst etwas anderes und die Lusternik-Shnirelman-Kategorie hat mit Kategorientheorie im heute üblichen Sinne nichts zu tun. Aber Lusternik und Schnirelman waren natürlich keine Topologen und vor allem entdeckten sie ihre ‘Kategorie’ zu einer Zeit, als es Kategorientheorie überhaupt noch nicht gab. (Als historisch erste kategorientheoretische Arbeit gilt Eilenberg-MacLane “General Theory of Natural Equivalences” von 1945.)

Die Lusternik-Schnirelman-Kategorie eines topologischen Raumes X ist, per Definition, die kleinste Zahl k, so daß sich X durch k offene Mengen überdecken läßt, die in X kontrahierbar sind.
(Die Mengen müssen nicht selbst kontrahierbar sein, sondern nur in X. Zum Beispiel ist die Vereinigung mehrerer disjunkter kontrahierbarer Teilmengen natürlich nicht kontrahierbar in sich, aber in X.)

Wenn man eine Fläche wie im Bild unten in Zellen zerlegt, dann findet man leicht eine Überdeckung durch 3 offene Mengen, die sich in der Fläche kontrahieren lassen:
– das Innere der 2-Zelle
– eine offene Umgebung der 0-Zelle
– und eine offene Umgebung von (hinreichend großen) Teilintervallen der 1-Zellen.
(Die letzte Menge besteht aus 2g Zusammenhangenskomponenten, ist aber trotzdem innerhalb der Fläche kontrahierbar.)

Quelle: Hatcher: Algebraic Topology

Die Lusternik-Schnirelman-Kategorie einer Fläche ist also höchstens 3. Für die Sphäre ist sie sogar 2, für alle anderen Flächen ist die 3 aber tatsächlich optimal. (Beweis nächste Woche.)

Trotz der einfachen Definition ist die Lusternik-Schnirelman-Kategorie schwer zu berechnen. Dasselbe Argument wie oben für Flächen zeigt cat(M)≤dim(M)+1. Eine untere Schranke hat man durch die kleinste Zahl k, so dass alle Cup_produkte von k Kohomologieklassen Null ergeben. Damit hat man zum Beispiel cat(RPⁿ)=n+1. Fortgeschrittenere Ansätze zur Berechnung benutzen die rationale Homotopietheorie, aber viele Fragen sind noch offen.

Mindestanzahl der kritischen Punkte

Der Satz von Lusternik-Schnirelman besagt:
Jede differenzierbare Funktion f:M–>R auf einer Mannigfaltigkeit M hat mindestens cat(M) kritische Punkte.

Zum Beweis:
sei k=cat(M). Für i=1,…,k betrachtet man λ_i:=inf_{X closed, cat(X)≥i} max_{x ∈ X}f(x).
Offensichtlich hat man λ₁≤λ₂≤…≤λ_k.
Wegen Abgeschlossenheit gibt es ein x_i∈X_i mit cat(X_i)≥i und f(x_i)=λ_i.
Wir behaupten jetzt, daß es auf der Levelmenge {x∈M: f(x)=λ_i} mindestens einen kritischen Punkt geben muß. Angenommen, das wäre nicht der Fall, dann ist das Gradientenvektorfeld überall transvers zu dieser Levelmenge (nirgendwo Null) und man kann die Levelmenge entlang des negativen Gradientenvektorfeldes fließen lassen (ähnlich wie in TvF 210). Insbesondere wird dabei X_i homotopiert in den Bereich {x∈M: f(x)<λ_i-ε}. Das Bild von X_i unter der Homotopie hat aber natürlich dieselbe Lusternik-Schnirelman-Kategorie wie X_i. Damit haben wir eine Menge der Kategorie ≥i, auf der das Maximum von f kleiner ist als λ_i-ε. Das widerspricht aber der Definition von λ_i.
Falls λ₁≠λ₂≠…≠λ_k ist, dann haben wir also mindestens einen kritischen Punkt auf jeder Levelmenge {x∈M: f(x)=λ_i}, damit insgesamt mindestens k kritische Punkte, also die Behauptung.
Falls z.B. λ_i=…=λ_j, dann kann man mit einem ähnlichen Argument zeigen, daß es auf der Levelmenge mindestens j-i+1 kritische Punkte gibt, womit die Behauptung auch in diesem Fall folgt.

Insbesondere hat jede diff.-bare Funktion auf der Sphäre mindestens zwei kritische Punkte (das ist ohnehin klar, weil es Maximum und Minimum geben muß) und auf jeder anderen Fläche mindestens 3 kritische Punkte.

Ein Beispiel einer Funktion mit genau 3 kritischen Punkten zeigt das Bild unten.

Man denke sich die Fläche wieder als 8-Eck mit verklebten Kanten. (Insbesondere sind alle 8 Ecken derselbe Punkt.) Der eine kritische Punkt ist die Ecke, die anderen beiden sind im Inneren. Die Kurven sind die Levelmengen der Funktion.
Der kritische Punkt in der Ecke ist natürlich degeneriert, lokal sieht die Funktion in einer Umgebung aus wie f(z)=Re(z^2g). Durch eine kleine Störung erhält man eine Morsefunktion mit 2g Sattelpunkten:

Der Satz von Lusternik-Schnirelman ist vor allem für höherdimensionale Mannigfaltigkeiten interessant.
Für Flächen könnte man die Ungleichung auch ad hoc herleiten, ohne Rückgriff auf die Lusternik-Schnirelman-Kategorie, dazu nächste Woche.

Die Bilder (und der Beweis) sind aus Teil 3 von Dubrovin-Novikov-Fomenko.

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177, Teil 178, Teil 179, Teil 180, Teil 181, Teil 182, Teil 183, Teil 184, Teil 185, Teil 186, Teil 187, Teil 188, Teil 189, Teil 190, Teil 191, Teil 192, Teil 193, Teil 194, Teil 195, Teil 196, Teil 197, Teil 198, Teil 199, Teil 200, Teil 201, Teil 202, Teil 203, Teil 204, Teil 205, Teil 206, Teil 207, Teil 208, Teil 209, Teil 210, Teil 211, Teil 212, Teil 213, Teil 214, Teil 215, Teil 216, Teil 217

Nachtrag: Roland Senf hat die bisherigen Folgen bis auf die letzte (und noch einige weitere Artikel) in einem Word-Dokument zusammengefaßt, das man noch bis 7.5. hier herunterladen kann. (Transferkennung:SlRYe599Nm Kennwort:Topologie). Braucht ein paar Minuten zum Laden, aber auf dem ipad liest es sich wirklich hervorragend.