Sphären, orthogonale und unitäre Gruppen, Geodäten und Bott-Periodizität.

Letzte Woche hatten wir uns überlegt, wie für eine Fläche F der Raum ΩF aller Wege von p nach q aussieht. Als technisches Hilfsmittel, um Morse-Theorie auf dem Wege-Raum betreiben zu können, benutzte man dabei eine Riemannsche Metrik, bzgl. der p und q nicht konjugiert sind. (Durch eine kleine Störung der Metrik kann man letztere Bedingung immer erreichen.)
Mit ähnlichen Methoden kann man oft auch den Wege-Raum für konjugierte Punkte bestimmen und das hat einige spektakuläre Anwendungen in der (höher-dimensionalen) Topologie, nämlich z.B. den Freudenthalschen Suspensionssatz und den Bottschen Periodizitätssatz.

Im folgenden bezeichnet π_iX die i-te Homotopiegruppe eines Raumes X, wie wir sie in TvF 192 mal definiert hatten. Um für geschlossene Mannigfaltigkeiten M,N zu beweisen, dass eine stetige Abbildung f:M—>N eine Homotopieäquivalenz ist, genügt es zu überprüfen, dass man einen Isomorphismus für alle Homotopiegruppen erhält – das folgt aus einem Satz von Whitehead.
Weiterhin bezeichnet im folgenden ΩM den Raum aller Wege von p nach q (auf einer Mannigfaltigkeit M). Wir werden benutzen, dass π_iiM=π_i+1ΩM – das lässt sich leicht mit der Spektralsequenz der Wegeraum-Faserung beweisen.

Der allgemeine Ansatz, um den Wege-Raum ΩM zu zwei konjugierten Punkten p und q zu untersuchen: man betrachtet den Unterraum Ω_minM aller minimalen Geodäten von p nach q. Mittels Morse-Theorie kann man beweisen, dass die Inklusion Ω_minM—>ΩM einen Isomorphismus der Homotopiegruppen π_i für i≤λ-2 gibt. (λ ist die minimale Anzahl konjugierter Punkt für nicht-minimale Geodäten von p nach q.)

Geodäten auf der Sphäre und Freudenthal-Suspension

Seien also p und q zwei antipodale Punkte auf einer n-dimensionalen Sphäre Sⁿ. Offensichtlich ist die Menge Ω_minSⁿ der kürzesten Geodäten dasselbe wie der Äquator S^n-1. (Jede kürzeste Verbindung schneidet den Äquator in einem Punkt.)

Für die Inklusion von Ω_minSⁿ in ΩSⁿ (den Raum aller Wege von p nach q) kann man dann also mit Morse-Theorie zeigen, dass sie einen Isomorphismus der Homotopiegruppen π_i für i≤2n-4 gibt.

Damit bekommt man π_i-1S^n-1=π_i-1Ω_minSⁿ= π_i-1ΩSⁿ=π_iSⁿ für i≤2n-4. Dieser isomorphismus ist der Freudenthalsche Suspensionssatz, ein grundlegender Satz in der Homotopietheorie (der natürlich auch andere, topologischere Beweise hat).

Geodäten auf U(n) und Bott-Periodizität

Mit U(n) bezeichnet man die Gruppe der unitären nxn-Matrizen. SU(n) ist die Untergruppe der unitären Matrizen mit Determinante 1.
Analog zur Sphäre kann man auch hier die Wege von I nach -I betrachten. Die Menge der minimalen Geodäten in SU(2m) ist in diesem Fall dasselbe wie die Grassmann-Mannigfaltigkeit G(m,C^2m). Man bekommt (analog wie oben bei den Sphären) hier einen Isomorphismus π_iG(m,C^2m)=π_i+1SU(2m) für i≤2m.
(Und für i≠0 ist π_i+1SU(2m)=π_i+1U(2m).)

Andererseits ist die Grassmann-Mannigfaltigkeit ein symmetrischer Raum G(m,C^2m)=U(2m)/U(m)xU(m), woraus man (mit der langen exakten Homotopiesequenz der Faserung) π_iG(m,C^2m)=π_i-1SU(2m) herleiten kann, letztlich also π_i+1U(2m)=π_i-1U(2m) für i≤2m.

Letzteres Resultat (meist formuliert als π_i-1U=π_i+1U, für die aufsteigende unendliche Vereinigung U aller unitären Gruppen) ist der Bottsche Periodizitätssatz. Wegen π₁U=0 und π₂U=Z bekommt man damit also π_iU=0 für ungerade i und π_iU=Z für gerade i.

Es gibt einen analogen Satz für die Gruppe O der orthogonalen Matrizen: hier kann man π_i-1O=π_i+7O beweisen.

(Eine andere äquivalente Formulierung ist π_iBO=π_i+8BO, oder dass die Zusammenhangskomponenten von Ω⁸BO homotopie-äquivalent zu BO sind, oder mittels der in TvF 185 definierten (reellen) K-Theorie, dass KO_i(X)=KO_i+8(X) für alle Räume X ist. Die letztere Äquivalenz folgt aus KO_i(X)=[ΣⁱX,BO]=[X,ΩⁱBO].)

Die Originalquelle für Botts Beweis ist seine 1959 veröffentlichte Arbeit, ein einfacherer Übersichtsartikel von Bott ist hier (oder natürlich Milnors Buch über Morse-Theorie.) Es gibt noch viele andere Beweise für Bott-Periodizität, die insbesondere den Zusammenhang dieses Satzes mit vielen anderen Gebieten zeigen. Zu den Anwendungen von Bott-Periodizität, die wir hier in der Reihe schon mal besprochen hatten, gehört die Nicht-Parallelisierbarkeit der n-dimensionalen Sphären für n≠1,3,7, siehe TvF 184, aus der sich dann ergibt, dass R,C,H und O die einzigen Divisionsalgebren sind.

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