Minimalflächen.
In den letzten, beiden Wochen hatten wir uns für Einbettungen von Flächen (in den R3) interessiert, die eine vorgegebene Metrik und damit insbesondere die Krümmung der Fläche erhalten sollen. (Vor 2 Wochen ging es z.B. um isometrische Einbettungen des flachen Torus.)
Die Krümmung einer im R3 eingebetteten Fläche konnte man berechnen als Produkt der beiden Hauptkrümmungen: Gauß’ Theorema Egregium besagt, dass dieses Produkt nur von der Metrik abhängt und letztlich dass es der heute üblichen Definition von (Schnitt)krümmung Riemannscher Mannigfaltigkeiten entspricht.
Die sogenannte mittlere Krümmung, die Summe der beiden Hauptkrümmungen hängt hingegen nicht nur von der Metrik, sondern auch von der Einbettung der Fläche ab. Und sie hat eine geometrische Interpretation:
wenn man sich im R3 zu einer vorgegebenen Kurve alle diejenigen Flächen anschaut, deren Rand die gegebene Kurve ist, und unter diesen Flächen nach derjenigen mit dem minimalen Flächeninhalt sucht, dann muss für diese minimalen Flächen die mittlere Krümmung konstant 0 sein. (Es reicht sogar schon, dass die Fläche minimalen Flächeninhalt nur unter denjenigen Flächen hat, die sich aus der Fläche durch Deformation mit festgehaltener Randkurve ergeben.)
Das motiviert die Definition: Flächen, deren mittlere Krümmung konstant 0 ist, werden als Minimalflächen bezeichnet.
(Dabei erlaubt man auch Flächen mit Selbstdurchdringungen. Es ist oft viel schwieriger, eingebettete Minimalflächen, d.h. Minimalflächen ohne Selbstdurchdringungen zu konstruieren.
Minimalfläche im Sinne dieser Definition sind übrigens nicht unbedingt flächen-minimierend, umgekehrt sind flächen-minimierende Flächen aber immer Minimalflächen im Sinne dieser Definition.)
Das Problem zu einer vorgegebenen Randkurve Minimalflächen zu finden, heißt Plateau-Problem, es war 1930 gleichzeitig von Rado (für rektifizierbare Kurven) und Douglas (mit anderen Methoden für beliebige Kurven und auch für 2 Randkurven) gelöst worden, Douglas gewann damit 1936 die Fieldsmedaille. Courant verallgemeinerte den Beweis dann 1937 auf den Fall von beliebig vielen Randkurven.
Veranschaulicht wird das gerne mit Seifenblasen (Bild aus der Wikipedia):
Ein schwierigeres Forschungsgebiet ist die Konstruktion von Minimalflächen ohne Rand im R3. Eine “Minimalflächen-Museum” mit vielen Bildern findet man bei Matthias Weber.
Einfachste Beispiele für Minimalflächen sind natürlich Ebenen:
Das historisch erste ‘nichttriviale’ Beispiel einer Minimalfläche ist die 1744 von Euler gefundene Katenoide:
https://www.indiana.edu/~minimal/index.html
Zur Klassifikation von Minimalflächen im R3 hat es in den letzteren Jahrzehnten viele Fortschritte gegeben (insbesondere hat man bewiesen, dass Ebenen und Helikoiden die einzigen einfach zusammenhängenden eingebetteten Minimalflächen sind), dazu nächste Woche.
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