Die Klassifikation der Minimalflächen im euklidischen Raum.

Letzte Woche hatten wir über Minimalflächen geschrieben.
Minimalflächen sind, per Definition, Flächen, deren mittlere Krümmung konstant 0 ist. (Das ist eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung dafür, dass jede kleine Variation den Flächeninhalt vergrößert.)
Wir nehmen an, dass die Metrik vollständig ist, d.h. Geodäten sich bis unendlich fortsetzen lassen. Für diesen Beitrag betrachten wir auch nur eingebettete Flächen (d.h. ohne Selbstschnitte) mit endlich vielen Henkeln und Enden.
(Nach einem Satz von Colding-Minicozzi sind diese Minimalflächen dann auch eigentlich eingebettet.)

Zur Klassifikation von Minimalflächen im 3-dimensionalen euklidischen Raum R³ hat es in den letzten 20 Jahren viele Fortschritte gegeben.

Einfach zusammenhängende Minimalflächen

Meeks und Rosenberg haben (aufbauend auf Ungleichungen von Colding-Minicozzi) 2005 bewiesen, dass es nur 2 Arten von einfach zusammenhängenden Minimalflächen im R³ gibt: die Ebene und die Helikoide.

Die Ebene z=constant:

Die Helikoide z=arctan(y/x):

Colding-Minicozzi haben in einer Serie von Arbeiten bewiesen, dass minimale Kreisscheiben lokal wie Ebenen oder Helikoiden aussehen, also entweder Graph einer Funktion oder einer Multifunktion sind.

Minimalflächen ohne Henkel

Allgemeiner als einfach zusammenhängende Flächen (die alle topologisch äquivalent zur Ebene sind, weil sich die Sphäre nicht als Minimalfläche im R³ realisieren läßt) sind sogenannte planare Flächen, d.h. Flächen, die topologisch äquivalent (homöomorph) zu einer Teilmenge der Ebene sind wie der Kreisring, die Hose und die Flächen, die man durch Herausschneiden weiterer Kreise aus der Kreisscheibe erhält.

Auch die planaren Minimalflächen sind durch die Arbeiten von Meeks-Rosenberg und Colding-Minicozzi zusammen mit früheren Arbeiten von López-Ros und Collin vollständig klassifiziert. Neben der Ebene und der Helikoide (1 Ende) ist die Katenoide (2 Enden) die einzige planare Minimalfläche mit endlich vielen Enden.

Die Katenoide z=arcosh(II(x,y)II):

Wenn man Flächen mit unendlich vielen Enden zulässt (also topologisch äquivalent zu einer Kreisscheibe, aus der unendlich viele Kreisscheiben herausgeschnitten wurden), gibt es noch weitere (unendlich viele, von 2 Parametern abhängende) planare Minimalflächen, nämlich Riemanns Minimalflächen, eine 2-Parameterfamilie von einfach periodischen Minimalflächen. Das Bild zeigt ein Beispiel aus dieser Familie:

Minimalflächen mit Henkeln

Planare Flächen sind Flächen mit g=0 Henkeln.
Wieviele Minimalflächen mit Henkeln gibt es?

Die Hoffman-Meeks-Vermutung sagt, dass es für alle (g,r) mit r>2 und g≥r-2 eingebettete Minimalflächen mit g Henkeln und r Enden gibt.
(Man vermutet, dass für r>2 diese Ungleichung auch notwendig ist und dass für r=2 die Katenoide die einzige Möglichkeit mit g=0 ist. Meeks-Perez-Ros haben bewiesen, dass es eine obere Schranke für die Anzahl der Enden einer eingebetteten Minimalflächen mit g Henkeln gibt.
Für r=1 haben Meeks-Rosenberg zu jedem g eine eingebettete Minimalfläche konstruiert und man vermutet, dass dies die einzigen Minimalflächen mit r=1 sind, natürlich bis auf Isometrie und Homothetie.
Weil es keine kompakten Minimalflächen gibt, muß immer r>0 sein.)

Ein Beispiel mit r=5,g=3 ist die Weber-Wolf-Fläche:

Alle Bilder sind von https://www.indiana.edu/~minimal/archive/index.html.

Ein populärwissenschaftlicher Artikel: “Shapes of embedded minimal surfaces” mit weiteren Bildern.

Referenzen:
William H. Meeks, Harold Rosenberg (2005). The uniqueness of the helicoid. Annals of Mathematics (2), 161 (2), 727-758 DOI: 10.4007/annals.2005.161.727
Tobias H. Colding, William P. Minicozzi (2004). The space of embedded minimal surfaces of fixed genus in a 3-manifold. IV. Locally simply connected. Annals of Mathematics (2), 160 (2), 573-615 DOI: 10.4007/annals.2004.160.573
Pascal Collin (1997). Topologie et courbure des surfaces minimales proprement plongées de R³. Annals of Mathematics (2) 145 , 1-31. https://www.jstor.org/stable/2951822
Francisco J. López, Antonio Ros(1991). On embedded complete minimal surfaces of genus zero. Journal of Differential Geometry 33, 293-300. https://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.jdg/1214446040&page=record

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