Minimalflächen in der 3-dimensionalen Sphäre.

Letzte Woche hatten wir über Minimalflächen im euklidischen Raum R³ geschrieben. Die müssen immer nicht-kompakt sein, also Enden haben, und eine Klassifikation hat man bisher nur für Geschlecht 0 (also Flächen topologisch äquivalent zu Kreisscheiben mit evtl. herausgeschnittenen weiteren Kreisscheiben, wobei die Randkreise den Enden der Minimalflächen entsprechen), für Minimalflächen höheren Geschlechts hat man Beispiele und Vermutungen, aber keine bewiesene Klassifikation.

Man kann natürlich auch in anderen 3-dimensionalen Rämen nach Minimalflächen suchen. Das naheliegende erste Beispiel für einen kompakten 3-dimensionalen Raum ist die 3-dimensionale ‘runde’ Sphäre, also die Menge {(x,y,z,w): x²+y²+z²+w²=1} im 4-dimensionalen Raum. (Die Metrik hat Krümmung konstant 1.)
Das Bild unten zeigt natürlich nur die 2-dimensionale Sphäre, nicht die 3-dimensionale:

Lawson hatte 1970 bewiesen, dass man geschlossene, orientierbare Flächen mit beliebig vielen Henkeln als eingebettete Minimalflächen in der S³ finden kann. Falls die Anzahl der Henkel keine Primzahl ist, gibt es sogar mehrere nicht-äquivalente Möglichkeiten. (Weil die von Lawson konstruierten Flächen viele Symmetrien hatten, bekam er damit dann auch noch viele Minimalflächen in Linsenräumen.)

Minimale Sphären in der S³

Analog zu den unten abgebildeten Großkreisen der 2-dimensionalen Sphäre hat man natürlich auch in der 3-dimensionalen Sphäre 2-dimensionale ‘Großsphären’, die total-geodätisch und insbesondere Minimalflächen sind.

Almgren hat bewiesen, daß es in der S³ keine anderen Minimalflächen vom Geschlecht 0 gibt. (Es gibt sogar keine weiteren minimalen Sphären mit Selbstschnitten.)

Minimale Tori in der S³

Welche Möglichkeiten gibt es für Minimalflächen mit Henkeln?
Aus topologischer Sicht sind alle Minimalflächen in der S³ unverknotet, wie Lawson ebenfalls 1970 bewiesen hatte.

Ein explizites Beispiel einer Minimalfläche mit einem Henkel ist der sogenannte Clifford-Torus, gegeben innerhalb der S³={(x,y,z,w): x²+y²+z²+w²=1} durch die Gleichung

x²+y²=z²+w²=1/2.

(Die zweite Gleichung folgt natürlich aus der ersten.)

Das Bild (Quelle) zeigt den Cliffordtorus in R³⊆S³, bei YouTube gibt es auch Videos sich drehender Clifford-Tori.

Der Clifford-Torus ist flach, er hat Krümmung konstant 0. Weitere Beispiele minimaler Tori in der S³ bekommt man aus dem Clifford-Torus durch Drehen oder Spiegeln der S³. (Natürlich sind diese Tori nicht flach bzgl. der euklidischen Metrik des R³, sondern bzgl. der Metrik der Einheitssphäre S³.)

Lawson hatte in der eben erwähnten Arbeit 1970 bewiesen, dass dies die einzigen flachen Minimalflächen in der S³ sind und er hatte vermutet, dass es keine anderen Minimalflächen mit nur 1 Henkel in der S³ gibt. Bewiesen wurde diese Vermutung vor kurzem von Brendle. (In diesem Fall gibt es übrigens mehr Möglichkeiten, wenn man minimale Tori mit Selbstschnitten sucht.)

Der Beweis benutzt den “mean curvature flow”, ein höherdimensionales Analog (u.a. für Flächen in einem 3-dimensionaeln Raum) zum “curve shortening flow”, dessen Effekt auf Kurven in der Ebene dieses Video zeigt:

Lawson, H. Blaine, Jr. Complete minimal surfaces in S3. Ann. of Math. (2) 92 1970 335-374. https://www.jstor.org/stable/1970625
Lawson, H. Blaine, Jr. The unknottedness of minimal embeddings. Invent. Math. 11 1970 183-187. https://www.springerlink.com/content/m003h46t612p7415/
S. Brendle (2012). Embedded minimal tori in S^3 and the Lawson conjecture ArXiv arXiv: 1203.6597v2

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