Exponentielle Funktionen wachsen viel schneller als lineare. Und sind deshalb auch viel größer, jedenfalls wenn ihr Anfangswert groß genug war.
Beweisen kann man das leicht mittels vollständiger Induktion. Die Ungleichung
beweist man zum Beispiel mit folgendem Induktionsbeweis:
Aus
folgt
, erst recht
, also
, mithin der Induktionsschritt.
Nun funktioniert ein Induktionsbeweis bekanntlich nur dann, wenn der Induktionsanfang korrekt ist, und eine schnell wachsende Exponentialfunktion wird nur dann größer als eine langsam wachsende lineare wenn bereits der Anfangswert groß genug war. Im Beispiel ist zwar
richtig für alle
, aber natürlich nicht für
.
Ausgerechnet diesen einen Ausnahmefall erwischten aber, Murphys Gesetz folgend, die Macher des Hochglanzmagazins lebensart. Dumm gelaufen, mit jedem anderen
wäre die Ungleichung richtig gewesen. (Quelle: Mitteilungen der DMV)
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