Exponentiell vs. Linear

Von Thilo / 6. April 2014 / 29 Kommentare

Exponentielle Funktionen wachsen viel schneller als lineare. Und sind deshalb auch viel größer, jedenfalls wenn ihr Anfangswert groß genug war.

Beweisen kann man das leicht mittels vollständiger Induktion. Die Ungleichung beweist man zum Beispiel mit folgendem Induktionsbeweis:
Aus folgt , erst recht , also , mithin der Induktionsschritt.

Nun funktioniert ein Induktionsbeweis bekanntlich nur dann, wenn der Induktionsanfang korrekt ist, und eine schnell wachsende Exponentialfunktion wird nur dann größer als eine langsam wachsende lineare wenn bereits der Anfangswert groß genug war. Im Beispiel ist zwar richtig für alle , aber natürlich nicht für .

Ausgerechnet diesen einen Ausnahmefall erwischten aber, Murphys Gesetz folgend, die Macher des Hochglanzmagazins lebensart. Dumm gelaufen, mit jedem anderen wäre die Ungleichung richtig gewesen. (Quelle: Mitteilungen der DMV)

Kommentare (29)

#1 odet
7. April 2014

MBA goes Math. Und lästert dann Abens beim Bier über die Deppen die mit harter Arbeit ein Mintfach studieren……
#2 Quacki
7. April 2014

Mit der impliziten Annahme, dass n eine Ganzzahl ist :-p
#3 Thilo
7. April 2014

Die Ungleichung stimmt auch für alle reellen Zahlen größer 2, nur braucht man dafür natürlich einen anderen Beweis.

Man kann z.B. die Ableitung benutzen: die Ableitung von n^{10} ist 10*n^9 und das ist für n>2 größer als 5120, also insbesondere größer als die Ableitung von 10*n, welche 10 ist. Weil der “Induktionsanfang” für n=2 auch stimmt, folgt damit die Ungleichung für alle n>2.
#4 Andreas H.
7. April 2014

Die Auswirkungen von Exponentialfunktionen entziehen sich leider unserer Alltagserfahrungen. Ein wirklich gutes Video, in dem einige Phänomene erklärt werden (englisch):

https://www.youtube.com/watch?v=u5iFESMAU58

Immer wieder sehenswert.
#5 markus
8. April 2014

@Andreas H.
Die Exponentialfunktionen als Beschreibung der Bevölkerungsentwicklung hingt ! die Wachstumsrate ist nicht konstant (und war es nie) https://en.wikipedia.org/wiki/File:World_population_growth_rate_1950%E2%80%932050.svg
#6 Eheran
8. April 2014

Die Grafik ist ja witzig, wie man den Strich einfach gerade weitergeführt hat für nächsten 40 Jahre.
Wer maßt sich derartige Prognosen an?
Kommt mir vor wie Analysten die irgendwelche Ergebnisse auf 4 (oder mehr) signifikante Stellen genau vorhersagen wollen.
#7 regow
10. April 2014

Mein Gnuplot zeigt mir, dass sich x**10 und x*10 bei ca. x gleich 1.27 schneiden und ab diesem Wert dann x**10 größer ist.
#8 StefanL
10. April 2014

@regow
$x = \sqrt[9]{10}$
#9 regow
11. April 2014

Jo, aber eben nicht erst ab dem Wert 2.
#10 Thilo
11. April 2014

Natürlich kann man man die Ungleichung auch einfach durch direktes Nachrechnen überprüfen. Die Pointe hier sollte sein, dass man ein funktionierenden Induktionsbeweis hat, aber eben auf den Induktionsanfang achten muß. Und daß gerade dieser falsche Induktionsanfang in der Lebensart-Werbung erwischt wurde.
#11 Gast
11. April 2014

ich finde das Beispiel irgendwie [del]bl..[/del] nicht so optimal.
Wie wäre es denn mit n = -2
Es gibt ja schließlich auch negative natürliche Zahlen.
#12 Gast
11. April 2014

11. April 2014

ich finde das Beispiel irgendwie ~~bl..~~ nicht so optimal.
Wie wäre es denn mit n = -2
Es gibt ja schließlich auch negative natürliche Zahlen.
#13 hubert taber
11. April 2014

x^10 = 10^x
x = 1,37128857427

mfg. hubert taber
#14 Thilo
12. April 2014

Bei mir ist die neunte Wurzel aus 10 ungefähr 1,2915….
#15 StefanL
12. April 2014

@hubert taber
Wir wollen doch nicht übertreiben $\forall (x=y): x^y=y^x$

@Gast
https://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl
#16 StefanL
12. April 2014

@Thilo
Noch pointierter wäre da e.g. $2^n > n^2$ mit dem Spruch: “Besser als die Quadratur des Kreises $2^3 > 3^2$ ” .
Das eigentlich Erschreckende bei diesem Ausschnitt eines Hochglanzmagazines ist doch die Koketterie mit der elementaren Unwissenheit über ein neutrales Element.
#17 hubert taber
12. April 2014

die oben erwähnte ungleichung
n^10 > 10^n
wird bei einem bestimmten wert zur gleichung.
ich nenne diesen wert x.

x^10 IST GLEICH 10^x
und x = 1,37128857427

ist der wert grösser als x, wird es zur ungleichung
n^10 > 10^n

ist der wert kleiner als x, wird es zur ungleichung
n^10 < 10^n

was sollte daran unverständlich sein ?
es kommen aber doofe entgegnungen von selbsternannten mathe-gurus.

mfg. hubert taber
#18 rolak
12. April 2014

^^Wahnsinn – sich mit einer Kugel in beide Füße schießen, was für eine Leistung. Preiswürdig.
#19 Thilo
12. April 2014

Es geht um die Ungleichung 10^n>10n, nicht um die Ungleichung 10^n>n^10 (die natürlich auch ganz interessant wäre).
#20 StefanL
13. April 2014

@hubert taber
Wie schon angemerkt wurde, ist hier ursprünglich die Rede von $x^y > y\cdot x$ …und in diesem Zusammenhang ist x=1,37128857427 “out of range”.
Sicherlich ist $x^y=y^x$ und so beispielsweise $(\sqrt{3})^{3\sqrt{3}} = (3\sqrt{3})^{\sqrt{3}}$ oder eben auch die Lösung ( > 1 ) von $\log{x}= \frac{x-1}{x}$ im Falle y=10 interessant. Wie kommen Sie auf den Lösungswert x=1,37128857427 ?
#21 hubert taber
13. April 2014

@ Thilo :
anstelle von 10n dichtete ich irrtümlich 10^n dazu.
pardon.

aber die von mir (irrtümlich) erklärte ungleichung
n^10 > 10^n ist hieb und stichfest und jederzeit nachrechenbar.

mfg. hubert taber

p.s. : leider knurrte mein blindenhund nicht, als ich das ^ dazudichtete.
#22 rolak
13. April 2014

hieb und stichfest und jederzeit nachrechenbar

Na dann wollen wir mal, weiter oben erklärtest Du

x^10 IST GLEICH 10^x
und x = 1,37128857427

ist der wert grösser als x, wird es zur ungleichung
n^10 > 10^n

Dann wähle ich ein x eindeuztig größer als 1.37.., nämlich x=10, setze ein und erhalte 10^10>10^10. Huch, schon widerlegt.

Das war der andere Fuß, der erste war Deiner Meinung nach durch Blindheit verursacht – was für Hunde benötigst Du noch?
#23 LasurCyan
13. April 2014

@rolak
“…was für eine Leistung. ”
Rechter grosser Onkel auf den kleinen Zeh links geschoben, dann in der Mitte anvisiert, und abgedrückt…
#24 rolak
13. April 2014

anvisiert

Netter Versuch, LasurCyan, doch er verschiebt nur die zu erfüllende Höchstschwierigkeit vom Treffen getrennter Ziele zum Balancieren fürs gesicherte Treffen.

Der bekannte Spruch ‘Schieß die Wand an’ entstand ja nicht von ungefähr…
#25 regow
13. April 2014

@Thilo bei #19
OK mit 10^n>10n, gilt vielleicht für n größergleich 2.

Aber ganz oben steht n^10>10n, für alle n größergleich 2 – und das stimmt halt auch für kleinere n.
#26 LasurCyan
13. April 2014

@rolak
My dear, mein *nice try* bezog sich ja eben auf sein “Balancieren” …naja, redet man mal durch die Blume…
#27 hubert taber
13. April 2014

@ rolak :
diese eine ausnahme 10^10 bestätigt nur die regel.

und lasur spricht nicht durch die blume, sondern wirr.
#28 rolak
13. April 2014

ausnahme .. bestätigt nur die regel

Dieses Mathematikverständnis erklärt elegant die wirren Buchstabensuppen, auf die HT an- und ausdauernd verlinkt: Lauter Ausnahmen, die die Grundregel bestätigen, daß er ein Genie ist.
#29 hubert taber
13. April 2014

über 10 “kippt” diese ungleichung nochmals.
leider habe ich solche potenzen vorher nicht nachgerechnet.

und auf
https://science.orf.at/stories/1687300
beschrieb ich einen versuch, den jeder nachvollziehen kann.
und am ergebnis dieses experiments ist tatsächlich nicht zu rütteln.

auch wenn es manchen nicht in den kram passt.

mfg. hubert taber