Bunte Primfaktoren

Kommentare (11)

1. #1 rolak

   7. April 2015

   Ja, Graham-Cummings hat des öfteren schicke Ideen – wobei die hierbei allerdings in der Umsetzung lag, nicht beim Thema an sich. Sagt er jedenfalls.
   Und lieferte damals auch freundlicherweise die Quelle mit, so daß an anderen Ausmaßen probiert werden kann, ob es wachsenderweise eher psychedelisch oder doch nur matschig wird.

2. #2 seriously

   8. April 2015

   Warum sollte man das auch ändern? Mit einem Periodensystem kann man wenigstens etwas Nützliches anfangen. Wer möchte denn schon Primfaktoren durch Anstarren auswendig lernen?!

3. #3 rolak

   8. April 2015

   durch Anstarren auswendig lernen

   Das soll so gedacht sein, seriously? Es werden die PeriodensystemTafeln aufgehängt, damit ihr Inhalt auswendig gelernt werde, damit sie gar nicht mehr aufgehängt werden müssen? Seriously?

4. #4 Thilo

   8. April 2015

   Was sollte man denn sonst aufhangen? Als ich zur Schule ging, gab es diese Tafeln mit den Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetzen. Die sind jedenfalls langweiliger.Bei den Primzahlen kann man vielleicht noch eher nach Mustern suchen.

5. #5 rolak

   8. April 2015

   kann man vielleicht noch

   ..sofort Primzahlen erkennen. Also ein durchaus praktischer Gesichtspunkt neben dem Ästhetischen.

   Falls die Entgegnung an mich gerichtet war: Der Kommentar bezog sich auf seriouslys ‘Aufhängen zum Auswendiglernen’.

6. #6 LasurCyan

   8. April 2015

   ein durchaus praktischer Gesichtspunkt

   Noch praktischer wäre es, dat janze auf einen Duschvorhang zu drucken, rolak. Mein Schwesterchen hat einen mit dem PSE, da werde ich immer grün vor Neid^^

7. #7 BreitSide

   18. Juli 2015

   Herrlich. Nicht nur die Primzahlen sieht man schön.

   Auch die teilerreichen Zahlen 32, 48, 72, 96 sind schön als Törtchen zu sehen.

   Auch die Spalten mit den 5er/0ern stechen gut vor wie auch die 2,4,6 und 8 (und 0). Als Diagonale kann man schön die 11er erkennen.

   Optisch sehr befriedigend:-)

8. #8 Peter

   24. Juli 2015

   Die Idee gefällt mir zwar sehr gut aber leider ist sie so wenig vollständig und konsequent durchdacht, daß ich nicht umhin kann von einer didaktischen Katastrophe zu sprechen. Zunächst stört mich schon, daß diese Grafik die Größen und Größenrelationen der dargestellten Zahlen völlig ignoriert. Einerseits sind verschieden große Zahlen wie die natürlichen Zahlen von 1 bis 100 in dieser Grafik durch flächengleiche Figuren dargestellt, nämlich durch gleich große Kreise. Andererseits sind gleich große Zahlen durch Figuren mit verschiedenem Flächeninhalt dargestellt. Zum Beispiel ist die Primzahl 2, die in jeder geraden Zahl als Primfaktor vorkommt, in der ersten Zeile an zweiter Stelle von links als ganze Kreisfläche dargestellt aber in den Darstellungen der größeren geraden Zahlen jeweils als Kreissektor, der nur noch einen Teil der insgesamt gleich großen Kreisfläche bedeckt, z.B. die Hälfte, ein Drittel, ein Viertel, ein Fünftel oder gar nur noch ein Sechstel dieser Kreisfläche. Das ist aber noch lange nicht das schlimmste an dieser Grafik. Um aus der schon bekannten Primfaktorzerlegung einer zusammenesetzten Zahl n ebendiese wieder zurückzugewinnen muß man die Primfaktoren multiplizieren, nicht addieren (weshalb sie ja auch Faktoren heißen und nicht Summanden). Wird ein Kreis in beliebig viele gleiche oder auch verschiedene Sektoren unterteilt (“die Torte in Tortenstücke zerschnitten”), dann ist der Flächeninhalt des ganzen Kreises gleich der Summe der Flächeninhalte der einzelnen Kreissektoren (“alle Tortenstücke zusammen sind dann so groß wie die ganze Torte”). Kreissektordiagramme eignen sich daher gut zur Darstellung der Addition aber nicht der Multiplikation. Die grafischen Darstellungen der Primfaktorzerlegungen erwecken deshalb optisch den Eindruck als müsse man die Primfaktoren (“die Tortenstücke”) addieren statt multiplizieren. Beim Betrachten einer so dargestellten Primfaktorzerlegung kann man auch nur allzuleicht auf den Gedanken kommen, daß es möglich sein könnte, die Sektoren des betrachteten Kreises durch ebenfalls passende aber andere Primzahlen darstellende Sektoren anderer Kreise zu ersetzen. Das widerspräche aber dem Satz von der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, der zu den fundamentalsten Sätzen der Zahlentheorie gehört. Ich habe nun einen seriösen Vorschlag anzubieten wie man diese Grafik durch eine verhältnismäßig geringfügige Modifikation so retten könnte, daß sie nicht mehr länger geeignet ist die derzeit (noch) unvollständig verblödete Menschheit vollends in den Wahnsinn zu treiben ohne daß dazu das Prinzip der den Tortenliebhabern sicherlich sympatischen Kreissektordiagramme aufgegeben werden muß. Ich schlage vor, jede natürliche Zahl, deren Primfaktorzerlegung grafisch dargestellt werden soll, durch einen Kreis darzustellen, dessen Radius so zu wählen ist, daß sein Flächeninhalt gleich dem dekadischen Logarithmus dieser natürlichen Zahl ist und den man, auch wenn man gerade keinen Rechner zur Hand hat, ohnehin in einer für grafische Zwecke mehr als ausreichenden Genauigkeit in jeder Logarithmentafel findet. Wenn die solcherart dargestellte Zahl zusammengesetzt ist, d.h. wenn sie in Primfaktoren zerlegbar ist, dann sollte jede in der Primfaktorzerlegung dieser Zahl vorkommende Primzahl durch einen Kreissektor (“durch ein Tortenstück”) dargestellt werden, dessen Flächeninhalt gleich dem dekadischen Logarithmus dieser Primzahl ist. Da der dekadische Logarithmus eine monoton wachsende Funktion seines Numerus ist wäre dadurch zunächst einmal sichergestellt, daß verschieden große Zahlen immer auch durch Figuren mit verschieden großem Flächeninhalt dargestellt werden wobei die größere von zwei Zahlen stets auch durch eine Figur mit einem größerem Flächeninhalt dargestellt wird und daß gleiche Zahlen immer durch Figuren mit gleichem Flächeninhalt dargestellt werden, die aber nicht von der gleichen Art sein und die gleiche Gestalt haben müssen. Da der Logarithmus eines Produktes gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren ist hat diese logarithmische Darstellung vor allem den Vorteil, daß man jetzt die Flächeninhalte der Kreissektoren mit gutem Gewissen addieren darf. Wenn z.B. die Primfaktorzerlegung einer zusammengesetzten Zahl n aus drei verschiedenen Primzahlen p, q und r besteht von denen wir jetzt der Einfachheit halber annehmen wollen, daß jede von ihnen nur einmal in der Primfaktorzerlegung vorkommt, dann ist das Produkt pqr=n. Die Zahl n wird dann grafisch durch einen Kreis (meinetwegen eine von oben betrachtete Torte) mit dem Flächeninhalt log n dargestellt (wobei “log” den dekadischen Logarithmus, d.h. den Logarithmus zur Basis 10 bedeutet), der in drei Sektoren (“Tortenstücke”) mit den Flächeninhalten log p, log q und log r unterteilt wird. Genauer: Die Zahl n wird auf einen Kreis mit dem Flächeninhalt log n abgebildet und die Primzahlen p, q und r auf Sektoren dieses Kreises mit den Flächeninhalten log p, log q und log r. Wenn die Grafik genau ist füllen diese Sektoren den Kreis vollständig aus, denn es ist log p + log q + log r = log(pqr) = log n. Der dekadische Logarithmus wächst viel langsamer als sein Numerus. Es ist log(10n) = log 10 + log n = 1 + log n, weil log 10 = 1 ist. Wächst also der Numerus auf das zehnfache, dann wächst sein Logarithmus bloß um 1. Mit wachsendem n werden die Kreise also nur langsam größer werden. Es ist also nicht zu befürchten, daß sie sehr bald so groß werden, daß der Platz nicht mehr ausreicht. Wenn andererseits eine Primzahl p in den Primfaktorzerlegungen verschiedener Zahlen vorkommt wird sie in den grafischen Darstellungen derselben zwar als Sektor mit gleichem Flächeninhalt dargestellt aber nicht mit gleichr Gestalt, denn da eine größere Zahl als Kreisfläche mit zumindest ein wenig größerem Radius dargestellt wird erscheint die Primzahl in dieser als Sektor mit ebenfalls größerem Radius aber dafür kleinerem Öffnungswinkel. Da keine zwei Kreise in der logarithmisch modifizierten Grafik genau den gleichen Radius haben passen in einen solchen Kreis Sektoren aus einem anderen Kreis niemals genau hinein. Daher wird der Betrachter auch nicht in Versuchung geführt zu glauben, es sei möglich ein und dieselbe Zahl auf verschiedene Arten in Primfaktoren zu zerlegen. Was dabei ein wenig auf der Strecke bleibt ist allerdings die Zahl 1, denn da log 1 = 0 ist wird sie nur als Kreis mit dem Flächeninhalt 0 und daher auch dem Radius 0 abgebildet, d.h. der Kreis degeneriert in diesem Fall zu einem Punkt. Sehr schlimm ist das aber nicht weil die Zahl 1 ohnehin nicht in Primfaktoren zerlegbar ist.

9. #9 Peter

   25. Juli 2015

   PS: Ich empfehle dem Leser dringend, den Satz “Damit sich das ändert, hat John Graham-Cumming die Primfaktoren in bunte Torten zerlegt:” sehr genau zu lesen und scharf darüber nachzudenken was dieser Satz eigentlich bedeutet. Darin steht nicht etwa geschrieben, daß natürliche Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegt wurden und das diese dann grafisch durch bunte Torten dargestellt wurden. Nein, vielmehr wurden die Primfaktoren in bunte Torten zerlegt! Primfaktoren sind jedenfalls Primzahlen und die Primzahlen zeichnen sich gerade dadurch aus, daß sie eben nicht weiter zerlegbar sind, zumindest nicht in ganzzahlige Faktoren. Wenn aber die Primzahlen andererseits in bunte Torten zerlegbar sind, dann ist es erstaunlich, daß die Mathematiker das bisher noch nicht entdeckt haben!

10. #10 Thilo

    25. Juli 2015

    Da haben Sie natürlich recht, es werden nicht die Primfaktoren in bunte Torten zerlegt, sondern die ganzen Zahlen.

11. #11 Thilo

    25. Juli 2015

    Was den Kommentar davor angeht, so ist das natürlich Ansichtssache. Viele Zahlentheoretiker werden sicherlich argumentieren, dass sie sich eben nicht für die Größe von Zahlen interessieren und das aus ihrer Sicht alle Primzahlen “gleich groß” sind.