KIAS-Kalender August 2015

Hier wieder die aktuelle Ausgabe des KIAS-Kalenders:

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0! ist 1: das ist einfach eine praktische Konvention, damit zum Beispiel die Formel für die Auswahl von k aus n Elementen auch für k=n stimmt: . Und auch die Formel für die Gammafunktion stimmt nur mit dieser Definition.

Bei der 2 geht es um die Gruppe aller Permutationen S_n und die Untergruppe aller geraden Permutationen A_n. Erstere hat n! Elemente und zweitere gerade die Hälfte, und tatsächlich ist A_n eine Untergruppe vom Index 2 in S_n.

Der Eintrag bei der 6 soll auf die Sinc-Funktion anspielen. Freilich müßte man da eiegentlich durch x und nicht durch n teilen.

Der Eintrag bei der 7 zeigt ein bekanntes Beispiel einer fast-ganzen Zahl: die Länge des Segments ist . Das ist zwar nicht genau 7, aber 7.0000000857…

Bei der 11 geht es wohl nur um eine Zerlegung in grosse Primfaktoren und die 16 scheint auch keine tiefere Bedeutung zu haben.

Die 17 ist die dritte Fermatsche Primzahl. (Deren Zählung mit F₀ beginnt.)

Die Shapiro-Ungleichung gilt für alle ungeraden Zahlen n von 1 bis 23 (wenn man für x₁,…,x_n positive Zahlen einsetzt), für alle ungeraden n ab 25 gibt es dann aber Gegenbeispiele. (Ausserdem gilt sie für gerade n von 2 bis 12.)