Unendlich lange Rechtecke der Breite 1/2, zentriert in den ganzzahligen Punkten der x-Achse, überdecken 50% der Ebene.
Wenn man das Muster um 90 Grad dreht, werden nochmal 50% der Ebene überdeckt und wenn man die beiden Streifenmuster übereinanderlegt (nicht wie im Bild oben, sondern gitterförmig wie unten), dann überdeckt man 75% der Ebene.
Wenn man dann noch einmal um 45 Grad dreht
und die drei Muster übereinander legt, hat man schon fast 98% der Ebene überdeckt. (Nachtrag: in jedem Einheitsquadrat gibt es einen Anteil von
Jetzt kann man versuchen, mit weiteren Drehungen letztlich die gesamte Ebene zu überdecken. Und man kann dieselbe Frage auch für Rechtecke anderer (dünnerer) Breite stellen. Also:
Sei ε>0 beliebig. Kann man das Streifenmuster aus unendlich langen Rechtecken der Breite ε (jeweils zentriert in den ganzzahligen Punkte der x-Achse) mit einer endlichen Zahl von Drehungen bereits die gesamte Ebene überdecken lassen?
Diese Frage wurde in Arbeiten von Malikioisis-Matolcsi-Ruzsa unter dem Namen “Pyjama-Problem” popularisiert, wohl wegen des Streifenmusters. (Z.B. A note on the pyjama problem.)
Im aktuellen Oktober-Heft der Inventiones Mathematicae wird nun die Lösung präsentiert: A solution to the pyjama problem von Freddie Manners (Oxford).
Bemerkenswerterweise erfordert dieses elementar-geometrische Problem Methoden aus topologischer Dynamik und additiver Kombinatorik und insbesondere eine Variation von Furstenbergs 2x3x-Theorem. Auch die Elementargeometrie kommt nicht ohne höhere Mathematik aus 🙂
Manners, F. (2015). A solution to the pyjama problem Inventiones mathematicae, 202 (1), 239-270 DOI: 10.1007/s00222-014-0571-7
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