Ein Gegenbeispiel zur Fermat-Vermutung im aktuellen KIAS-Kalender. (Beim 3.Dezember im Bild unten am Ende des Artikels,)
Die 2 ist der Grenzwert der Folge
Warum? Zunächst ist klar, dass die Folge monoton wächst und dass sie nach oben durch 2 beschränkt ist, denn aus $latex a_n<2$ folgt auch $latex a_{n+1}={\sqrt{2}}^{a_n}<{\sqrt{2}}^2=2$. Also gibt es einen Grenzwert a=2 - man sieht aus Monotoniebetrachtungen, dass es weitere Lösungen mit
Der Witz beim Gegenbeispiel zur Fermat-Vermutung für n=3 (Bild unten) ist natürlich, dass in der Summenzeile der notwendige Übertrag durch das Einfügen einer 11 "ersetzt" wurde.
Der vollständige Graph auf 5 Knoten läßt sich nicht überschneidungsfrei in die Ebene einbetten. Das sieht man mit dem Eulerschen Polyedersatz wie folgt: weil der Graph 5 Knoten und 10 Kanten hat, müßte er die Ebene in 7 Flächen zerlegen (wenn man die äußerste, unbeschränkte Fläche mitzählt). Jede dieser Flächen hat mindestens 3 Kanten und jede Kante käme in genau 2 Flächen vor. Doppeltes Abzählen liefert den Widerspruch
Pandigitale Ziffern sind solche, in denen alle 9 Ziffern (ohne 0) genau einmal vorkommen. Das trifft auf 123456789 ebenso wie auf seine Produkte mit 2,4,6 oder 8 zu.
Eine projektive Ebene ist eine Inzidenzstruktur aus Punkten und Geraden, wo sich je zwei Geraden in einem Punkt schneiden und durch je zwei Punkte eine Gerade geht. Dass es keine projetive Ebene mit 10 Punkten und 10 Geraden gibt wurde erst 1982 mit einer monatelangen Computersuche bewiesen, siehe Lam: "The search for a finite projective plane of order 10.
Es gibt 19 verschiedene Halbordnungen auf einer 3-elementigen Menge, eine Herleitung findet man hier. Es scheint kein systematisches Verfahren zur Bestimmung der Anzahl der Halbordnungen auf größeren n-elementigen Mengen zu geben.
Über die Collatz-Vermutung hatten wir hier einmal geschrieben. Beim Startwert 27 dauert es besonders lange bis man im Zykel 4-2-1 landet.
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