KIAS-Kalender November 2016

Von Thilo / 18. November 2016 / 7 Kommentare

Auflösbare Gruppen, “Can you hear the shape of a drum?” und Fibonacci-Zahlen im aktuellen KIAS-Kalender.

(Die Bilder lassen sich durch Anklicken vergrössern. 2 bis 5 sind im Bild unten am Ende des Artikels.)

Dass sich viele Gleichungen vom Grad 5 nicht durch eine allgemeine Lösungsformel auflösen lassen liegt daran, dass ihre Galois-Gruppe die symmetrische Gruppe S₅ und diese keine auflösbare Gruppe im Sinne der Gruppentheorie ist. Dass man in der Gruppentheorie den Begriff “auflösbare Gruppe” verwendet liegt übrigens genau daran, dass diese Gruppen die Galois-Gruppen derjenigen Gleichungen sind, die sich durch eine allgemeine Lösungsformel auflösen lassen.

Die Seitenhalbierenden zerlegen ein Dreieck in 6 Dreiecke und deren Inkreisradien erfüllen die Gleichung .

Tangram ist ein chinesisches Legespiel, das mit 7 Plättchen gespielt wird.

Das größte in ein Quadrat einbeschriebene gleichseitige Dreieck bildet einen Winkel von 15 Grad mit der Quadratseite.

Eine klassische Frage der Differentialgeometrie lautet, ob man “Form einer Trommel hören kann”, also ob sich aus den Eigenwerten des Laplace-Operators die Geometrie einer Fläche (bis auf Isometrie) bestimmen läßt. Während dies bei Flächen tatsächlich funktioniert, gibt es aber 16-dimensionale Gegenbeispiele unterschiedlicher 16-dimensionaler Formen, die aber dieselben Eigenwerte des Laplace-Operators, mithin dasselbe Klangspektrum haben.

Der Satz von Feit-Thompson besagt, dass jede endliche Gruppe ungerader Gruppenordnung auflösbar ist, er ist ein sehr wesentlicher Schritt für die Klassifikation endlicher einfacher Gruppen. Sein Beweis hätte sich wesentlich vereinfachen lassen, wenn die Vermutung von Feit-Thompson zuträfe, dass es keine ungleichen Primzahlen p,q gibt, für die durch teilbar ist. Diese Vermutung ist offen, falsch ist aber die stärkere Vermutung, dass die beiden Brüche stets teilerfremd sind. Das einfachste Gegenbeispiel ist p=17, q=3313.

In der Formel für den Kosinus von 18 Grad kommt der goldene Schnitt φ vor, und alle Primfaktoren der 22 haben dieselbe Quersumme. (Es gibt auch nur zwei.)

Kommentare (7)

#1 tomtoo
18. November 2016

Hallo Thilo,
was ist bei der 11 gemeint ?
#2 tomtoo
18. November 2016

Sry hat sich erledigt
#3 Thilo
18. November 2016

no sins, just trigonometry
#4 Frank Wappler
18. November 2016

Thilo schrieb (18. November 2016):
> KIAS-Kalender November 2016 […]

Das in 3 dargestellte Tetraeder (das mindestens eine Seitenfläche hat, deren drei (schwarz gezeichnete) Kanten alle die gleiche Länge $d$ haben) soll offenbar eben sein:

$0 = \begin{vmatrix} 0 & a^2 & b^2 & c^2 & 1 \\ a^2 & 0 & d^2 & d^2 & 1 \\ b^2 & d^2 & 0 & d^2 & 1 \\ c^2 & d^2 & d^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}.$
#5 Thilo
18. November 2016

@FW: Also ich bekomme da als Determinante etwas anderes heraus, ein Polynom vom Grad 6 statt Grad 4.
#6 Lercherl
18. November 2016

2 x 13 = 26. Wieder was gelernt.
#7 Frank Wappler
19. November 2016

Thilo schrieb (#5, 18. November 2016):
> Also ich bekomme da als Determinante etwas anderes heraus, ein Polynom vom Grad 6 statt Grad 4.

Also ich (bzw. diejenigen, die ich solche Rechnungen für mich meistens übernehmen lasse, und die sich dabei bisher recht zuverlässig gezeigt haben) bekomme(n) heraus, dass die besagte Cayley-Menger-Determinante (s. Kommentar #4) gleichwertig zu einem Polynom vom Grad 6 ist, das sich als Produkt aus $d^2$ und einem Polynom vom Grad 4 ausdrücken lässt:

$\begin{vmatrix} 0 & a^2 & b^2 & c^2 & 1 \\ a^2 & 0 & d^2 & d^2 & 1 \\ b^2 & d^2 & 0 & d^2 & 1 \\ c^2 & d^2 & d^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = d^2~\left(~(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2 - 3~(a^4 + b^4 + c^4 +d^4)~\right).$

Da $d$ bzw. der Faktor $d^2$ sicherlich von Null verschieden sein soll, entspricht die Forderung, dass die Determinante verschwinden soll, der Forderung, dass das auf der rechten Gleichungsseite gezeigte Polynom vom Grad 4 verschwindet; was wiederum der Gleichung im Kalenderfeld 3 entspricht.