Eine unterbestimmte Gleichung

Von Thilo / 14. März 2017 / 25 Kommentare

Die FAZ leitet ihren Artikel Wer will schon den totalen Markt? mit diesem Symbolfoto ein:

Als Mathematiker frage ich mich natürlich, welche Gleichung dort gelöst werden soll (und was sie mit dem Thema des Artikels zu tun haben könnte). Wenn die Gleichung das bedeutet, was ich denke, dann ist sie sehr unterbestimmt: für das leere Quadrat kann man jede gerade Zahl und für das schraffierte Quadrat sogar jede beliebige Zahl einsetzen. Die darunterstehenden Lösungen scheinen das zu bestätigen, auch wenn ich ihre Reihenfolge und Systematik nicht verstehe 🙂

(Im Artikel geht es übrigens darum, dass Patienten auch dann immer wieder zum selben Arzt gingen, wenn dieser keine gute Arbeit leistet – die Regulierung durch den Markt im Gesundheitswesen also nicht funktionieren würde.)

https://www.faz.net/aktuell/wissen/geist-soziales/soziale-systeme-wer-will-schon-den-totalen-markt-14909600.html

Kommentare (25)

#1 roel
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14. März 2017

@Thilo Kuessner “für das leere Quadrat kann man jede gerade Zahl und für das schraffierte Quadrat sogar jede beliebige Zahl einsetzen.” Na, nicht ganz. schraffierte Quadrat = leere Quadrat/2+1

Hier ist sie übrigens viel weiter: https://www.google.de/imgres?imgurl=http%3A%2F%2Fwww.pnn.de%2Ffm%2F61%2Fthumbnails%2FLehrer_i.JPG.7041579.JPG&imgrefurl=http%3A%2F%2Fwww.pnn.de%2Fcampus%2F1127286%2F&docid=kzMViYileD13IM&tbnid=FSGJBnsDQM2m6M%3A&vet=1&w=610&h=357&hl=de&bih=885&biw=1280&q=Lehrer&ved=0ahUKEwjR_v3T0tXSAhVD6RQKHRQJA-QQMwgkKAIwAg&iact=mrc&uact=8#h=357&imgrc=FSGJBnsDQM2m6M:&vet=1&w=610

Das Bild ist auch vielfältig einsetzbar: https://www.faz.net/aktuell/rhein-main/minister-in-hessen-fehlen-bis-zu-300-grundschullehrer-14890061.html und auch hier https://www.abendblatt.de/region/norderstedt/article209494257/Anmeldephase-Welche-Schule-passt-zu-mir.html Na ja, in den beiden Artikeln geht es wenigstens um LehrerInnen und/oder Schulen.
#2 Laie
14. März 2017

@roel
Doch! Nur bei Null käme für das leere Quadrat eine negative Zahl raus:-2

@Thilo
Warum lehrt man derart verdreht die Gleichung der Art
x+3 = 2y+1 durch Weglassen des Operators und nicht sinnvoller Benennung von Variablen?

Ich erkenne keinen Sinn, das unbestimmte Gleichungsssystem nicht aufzulösen nach x oder y,
#3 roel
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14. März 2017

@Laie “Doch! Nur bei Null käme für das leere Quadrat eine negative Zahl raus:-2 ” Verstehe ich nicht.

Die Formel an der Tafel sieht so aus:

x+3=x/2+1+X/2+1+1 also
0+3=0/2+1+0/2+1+1 also
3=3

X kannst du durch jede beliebige Zahl ersetzen, also auch z.B. durch Pi.
#4 Harder
Bremen
14. März 2017

Bei dem Tafelbild handelt es sich um eine ikonische Form des handlungsorientierten Zugangs zum Variablenbegriff. Ursprung ist das Prinzip “Knack die Box” (z.B. https://www.youtube.com/watch?v=tXSTOyUED-A) das mir zuerst im Schweizer Lehrwerk mathbu.ch begegnet ist. Hintergrund ist die Entwicklung einer Grundvorstellung vom Variablenbegriff auf der Stufe etwa der 7. Klasse. Es wird dabei mit verschiedenfarbigen Streichholzschachteln und Streichhölzern gearbeitet (siehe Film), um den Schülerinnen und Schülern die Grundvorstellung der Variable als Container zu vermitteln. Selbstverständlich wird nach dem Brunerschen E-I-S-Prinzip (enaktiv-ikonisch-symbolisch) später auch die formal symbolische Arbeit mit Gleichungen und Gleichungssystemen eingeführt.
#5 Laie
14. März 2017

@roel
Ja, man kann jede Zahl einsetzen. Ich ging mal davon aus, dass leeres und angemaltes Quadrat im Bereich der positiven Zahlen sein soll.

Mir ist nur nicht klar, was diese endlosen Zeilen den Schülern beibringen soll?

@Harder
Was ist ein “handlungsorientierter Zugang”. Was wird da gehandelt?
#6 roel
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14. März 2017

@Harder “Knack die Box”, “Variable als Container”, “Brunerschen E-I-S-Prinzip”, “formal symbolische Arbeit” Ich stelle gerade fest, wie lange meine Schulzeit her ist und wundere mich nicht, dass viele Schulabgänger heutzutage ohne Taschenrechner rechnerisch nicht zurechtkommen.
#7 Harder
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14. März 2017

@Laie “Handlungsorientiert” bedeutet, dass Schülerinnen und Schüler sich Lerninhalte zunächst durch handelnde Tätigkeiten (in diesem Fall also das aktive Füllen von Schachteln) aneignen, bevor sie mit Bildern und später Symbolen umgehen.

@roel Ich kann nicht nachvollziehen wo hier der Taschenrechner vorkommt, der verhindert, dass Schülerinnen und Schüler noch rechnen können. Entschuldigen Sie, dass ich Fachbegriffe der Mathematikdidaktik benutzt habe, aber ich dachte auf einem “ScienceBlog” ist das möglich. Ich wollte ja nur eine Erklärung für das Bild liefern.
Und Sie können mir glauben, nach 36 Jahren Tätigkeit als Mathematiklehrer und davon über zehn Jahr in der Ausbildung von Mathematikreferendaren denke ich, dass ich mir ein Urteil erlauben kann, wie Schülerinnen und Schüler erfolgreich Mathematik lernen (auch mit Taschenrechner).
#8 libertador
14. März 2017

@roel:
Was jetzt diese Zugangsweise mit Taschenrechnern zu tun hat, müssten Sie aber erläutern?
Denken Sie, dass die didaktische Aufbereitung automatisch dazu führt, dass weniger Kompetenzen gelernt werden?
Das Prinzip ist doch Recht einfach: In jedem Symbol könnte eine Menge (Streichhölzer) sein und dabei in gleichfarbigen gleichviele.

Zum Kopfrechnen:
Der Taschenrechnereinsatz kommt vermutlich davon, dass heutzutage einfach seltener Kopfrechnen erforderlich ist als früher. Auch im Alltag ist immer ein Taschenrechner auf dem Smartphone dabei und im Schulalltag wird häufig der Taschenrechner benutzt. Hat aber wenig mit diesem didaktischen Konzept zu tun.
#9 roel
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14. März 2017

@Harder Fachbegriffe lese ich immer gerne, die Bemerkung war nicht negativ gemeint. Ich zweifele auch nicht an ihrer Kompetenz und freue mich, dass ich das Tafelbild jetzt auch mit dem Fachvokabular richtig einordnen kann. Ich bin auf über 99% der Gebiete Laie und finde es gut, das hier auch Profis mitkommentieren, dadurch lerne ich.

@harder und @libertador “Zum Kopfrechnen:
Der Taschenrechnereinsatz kommt vermutlich davon, dass heutzutage einfach seltener Kopfrechnen erforderlich ist als früher. Auch im Alltag ist immer ein Taschenrechner auf dem Smartphone dabei und im Schulalltag wird häufig der Taschenrechner benutzt. Hat aber wenig mit diesem didaktischen Konzept zu tun.”

Der Taschenrechner ist sicher ein tolles Hilfsmittel und ich nutze sogar eine erweiterte Taschenrechner-app, wenn ich sie brauche. (Die Gleichung auf der Tafel gehört nicht dazu, die sehe ich und kenne die Lösung). Ich beobachte aber häufig, dass jüngere Personen bei einfachen Additionen oder Multiplikationen ohne technische Hilfsmittel aufgeschmissen sind. Das finde ich schade und führe das auf verschiedene Lehrmethoden zurück. Wenn ich Harder #7 so lese, vielleicht zu unrecht, ich denke darüber nach.
#10 Simpl
15. März 2017

Sie bietet Lösungsvorschläge an. Welche Zahlen können den Symbolen entsprechen.
Der 3. Vorschlag von oben haut hin. Ganz schön harte Nuss >:)

Gruß
Simpl
#11 tomtoo
15. März 2017

X+3=2*X+1 oder ?
#12 anderer Michael
15. März 2017

Harder
Auch wenn ich nur erahnen kann( zwar ist es nicht verboten , allgemein verständlich zu formulieren. Nachlesen ist aber erlaubt) , was das Pädagogische so bedeutet, es klingt gut und ich habe Vertrauen in die Lehrer/innen meiner Kinder, somit auch in Sie.
Und eigentlich ist das auch nicht so schwer. Das nichtausgefüllte Quadrat auf der linken Seite muss immer um 2 kleiner sein als die Summe der beiden ausgefüllten Quadrate rechts, weil immer links 3 und rechts 1addiert wird.
#13 anderer Michael
15. März 2017

Tomtoo
Wir hatten den gleichen Gedanken.Nur dein Kommentar ist besser als meiner. 🙂
#14 anderer Michael
15. März 2017

((2 ×X )-2)+3=2×X+1
#15 tomtoo
15. März 2017

@Thilo
Typisch Mathematiker. Du denkst zu kompliziert ; )
#16 tomtoo
15. März 2017

@anderer Michael

Das gibt eine multiple choice Aufgabe.
Antwort 2 ist richtig.
Die Dame hat nur vergessen das erste Quadrat auch auszumahlen.

Das ist so wie sich eine finanziel schwache, gehbehinderte Rentnerin sich logischerweise ihren Arzt auch frei aussucht und nicht den nächstgelegenen.

; )
#17 anderer Michael
15. März 2017

Tomtoo
Stimmt irgendwie alles , was du sagst! 🙂
Ich habe halt eine lange Leitung!
#18 tomtoo
15. März 2017

@anderer Michael

Ich habe die schwache Vermutung, ich bin mal wieder voll aufgelaufen bzgl. Thilos Ironie ?
#19 anderer Michael
15. März 2017

Tomtoo
Ich glaube, ich auch!
Aber jeder erkannte Irrtum macht uns geistig stärker.
Per aspera ad astra, um mal wieder etwas Küchenlatein von sich zu geben.
#20 tomtoo
15. März 2017

@anderer Michael

Küche ist immer gut ! Ich koche, du zapfst. ; )
#21 Laie
15. März 2017

Jetzt verstehe ich, was diese Art des “Lehrens” bezwecken soll. Nicht starr an Standard-Variablennamen wie x und y zu denken, sondern an lustige Symbole.

Da wird also wirklich “Kompetenz” vermittelt!

@tomtoo
Deine Lösung ist die beste! 🙂
#22 Laie
15. März 2017

Na gut, ich verate jetzt mal die Lösung:
Es ist lediglich die Hyperebene des 2-dimensinalen Raumes, die dann bekanntlich eine Gerade ist.

Bei einer klaren Darstellung sollte man sich hingegen entweder für die Parameterform oder die Normalform entscheiden.

Hilfreich wäre es, den zugehörigen Graphen zu zeichnen, das geht ja mit Tafel und Kreide bei dieser Dimensionierung recht einfach! 🙂
#23 erik||e oder wie auch immer . . . ..
15. März 2017

@Laie
. . . .. vielleicht kannst du einmal näher auf deinen Lösungsansatz eingehen . . . .. ich verstehe das Problem soweit, das ein unterbestimmtes Gleichungssystem in ein soziales Gefüge (. . . .. soziales Mengensystem . . . ..) eingeordnet werden soll . . . .. wenn ich das ikonosierte Bild des “totalen Marktes” in ein abstraktes Denksystem einfüge, dann ging es damals, wie heute, um Entscheidungsfindung eines einzelnen Menschen und Entscheidungen im Sozialgefüge . . . ..
. . . .. mit dem unterbestimmten Gleichungssystem verbleibe ich in den Ebenen des 3-Dimensionalen Bewegungsraum auf der Erde . . . .. meinst du ich solle die Eigenschaften des 4-D-Bewegungsraum der RaumZeit zur Lösungsfindung hinzuziehen? . . . ..
Mmh . . . .. das würde bedeuten die Relativitätstheorie in ihrer Definition von Lokalität und Nichtlokalität in einen einheitlichen Zusammenhang zu bringen (beschreiben . . . ..) und mit der Entscheidungsfindung von Menschen zu verbinden . . . ..
. . . .. könnte das die symbolische Botschaft des FAZ-Artikels sein? Sprache übermittelt Informationen und Mathematik ist eine von vielen Sprachen, die auf der Erde gesprochen werden . . . .. Buchstaben oder Zahlen sind kleine ikonisierte Bilder, welche Informationen vermitteln . . . . Ikone . . . .. “Am Anfang war das Wort.” Soll ein Schöpfer gedacht haben . . . .. das erste Wort war sicher eine Ziffer . . . .. ” 1 ” wird er sich gedacht haben . . . .. hat er für sein erstes Wort 4 Buchstaben verwendet oder nur ” 1 ” gedacht . . . .. oder kann der Zustand ||eins-1|| nicht getrennt voneinander betrachtet werden, weil er einen Überlagerungszustand darstellt . . . .. nein . . . .. menschliche Sprache kam erst ein paar Tage später, aber . . . .. wenn der Schöpfer nicht unsere Sprache spricht, dann versteht er vielleicht Mathematik? . . . ..denn diskrete Energie, gequantelte Energie kann symbolisch als ” 1 ” beschrieben werden . … und meinen Kindern würde ich diesen Zustand mit dem Bild einer Schachtel beschreiben, in die jemand einige Streichhölzer gelegt hat, mit verschiedenen Eigenschaften, welche ich nicht sehen kann und nur Menschen mit einer entsprechenden Profession können diese herauslesen, ohne den Energiezustand zu zerstören . . . .. ääh . . . ..
. . . ..have a break . . . .. have a kitkat . . . ..
#24 Laie
16. März 2017

@erik||e oder wer auch immer . . . ..

Ja, der Tag, nun hier …. am Abend …. und das Wissen, vermehrt fühlt sich geehrt, wie die Katze von Schrödinger und Codo.

Eins mit dem Quanten, auf Augenhöhe! Äquivalenz!

Der Quantenschaum schwingt, die Information in Schwingungen! Epsilon!

Nutze den Hyperraum, auf Ebene des Energiesparens im Sauseschritt! Das soziale Gefüge bleibt gleich, gefroren in der Zeit. Epsilon!

Sie weiss beischeid, von Innen Innensicht,
#25 Laie
16. März 2017

mehr Licht!