Spiegel Online berichtet heute in einem Artikel Escher in 3D über eine Arbeit von Alexander Gürten, die im Januar beim Wettbewerb Math Creations den dritten Preis gewann. Es geht um eine Stierfigur, mit der man den Raum lückenlos pflastern kann.
Das ist sozusagen eine 3-dimensionale Version der 2-dimensionalen Muster, wie man sie von den Bildern M. C. Eschers kennt. (Die Erben Eschers sind bekannt für eine sehr konsequente Verfolgung von Urheberrechtsverletzungen, deshalb zeige ich unten nur ein Imitat.)
Mehr Arbeiten von Alexander Gürten findet man auf seiner Webseite contralex.com. Zum Beispiel das Video unten zum Wärmeleitungsfluß oder auch das Projekt Creation of Escher Tilings zum Selberbasteln.
Bekanntlich hatte Escher ja seit Ende der 50er Jahre unter dem Einfluß Coxeters nicht nur euklidische, sondern auch hyperbolische Pflasterungen gedruckt, die ihm noch sehr viel interessantere Strukturen erschlossen wie im Bild unten. (Auch dieses Bild ist nicht von Escher, sondern von Sylvio Levy. Es sieht dem Original Circle Limit III allerdings täuschend ähnlich.)
Während die euklidische Ebene nur 17 Typen von diskreten Symmetriegruppen hat, gibt es bei der hyperbolischen Ebene unendlich viele und dementsprechend unendliche Möglichkeiten für solche Bilder.
Noch mehr Möglichkeiten gibt es für diskrete Symmetriegruppen des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes. Eine 3-dimensionale Version dieser spät-Escherschen hyperbolischen Pflasterungen scheint schwer realisierbar, aber wer weiß?
Das Bild unten (von Charles Gunn aus dem Film Not Knot) zeigt jedenfalls eine Pflasterung des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes. Die müßte dann nur noch künstlerisch verarbeitet werden.
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