Die Vierfarbenvermutung besagte, dass man jede ebene Landkarte mit vier Farben einfärben kann, so dass benachbarte Länder stets unterschiedliche Färbungen erhalten. Sie war ein schon im 19. Jahrhundert gestelltes, lange offenes Problem. Martin Gardner behauptete in einem Aprilscherzartikel 1975 (neben einigen offensichtlich abwegigen Behauptungen), dass die unten abgebildete Karte nicht mit vier Farben gefärbt werden könne.
Eine nicht funktionierende Färbung zeigt das Bild unten. Andere Leser fanden aber in oft tagelanger Arbeit Lösungen zu Gardner Karte.
Bewiesen wurde die Vierfarbenvermutung dann 1976 von Appel und Haken, ersterer ein Computerspezialist, letzterer ein bekannter 3-Mannigfaltigkeits-Topologe, nach dem die Theorie der Normalflächen benannt ist. Sie fanden 1825 unvermeidbare Strukturen, von denen zumindest eine in jeder Landkarte vorkommen muß und aus deren Unvermeidbarkeit der Vierfarbensatz mittels eines Induktionsarguments folgt, was sie freilich nur mit sehr umfangreichem Computereinsatz beweisen konnten.
Die Zahl der unvereinbaren Strukturen ist inzwischen reduziert worden, am grundsätzlichen Problem einer Beweisbarkeit nur mit Computerhilfe hat sich aber nichts geändert.
Es gibt eine Reihe äquivalenter Formulierungen des 4-Farben-Satzes, die aber genauso schwer zu bearbeiten sind. Eine davon geht auf das Jahr 1884 und den Physiker Peter Tait zurück. Sie besagt, dass ein 3-valenter Graph (d.h. ein Graph, bei dem an jedem Knoten drei Kanten zusammenstoßen), der sich nicht durch Entfernen einer Kante in zwei Komponenten zerlegen lässt, mit 3 Farben gefärbt werden kann, so dass an jedem Knoten die Kanten 3 unterschiedliche Farben haben.
Auch bei dieser Vermutung sind alle elementaren Beweisversuche gescheitert.
Einen ganz anderen Zugang zur Tait-Vermutung und damit zum Vierfarbensatz bearbeiten seit einigen Jahren die bekannten 4-Mannigfaltigkeits-Topologen Kronheimer und Mrowka. Sie haben eine Homologietheorie für 3-valente Graphen entwickelt, von der sie beweisen können, dass sie für die Graphen aus der Tait-Vermutung nie Null ist, und von der sie vermuten, dass ihre Dimension gerade die Anzahl der Tait-Färbungen ist. Damit gäbe es dann stets mindestens eine Tait-Färbung.
In einer neuen Arbeit haben sie jetzt eine andere Homologietheorie entwickelt, von der sie beweisen können dass ihre Dimension die Anzahl der Tait-Färbungen ist. Für diese Homologietheorie können sie nun allerdings nicht beweisen, dass sie für die Graphen aus der Tait-Vermutung nie Null ist. Sie können beweisen, dass die Dimension der neuen Homologietheorie höchstens so groß wie die der anderen ist, aber für den Beweis des Vierfarbensatzes ist das natürlich die falsche Ungleichung.
Die Konstruktion ihrer Homologietheorien benutzt Methoden, die man in der Graphentheorie nicht vermuten würde. Ohne mir ihre Arbeiten genauer angeschaut zu haben, zitiere ich mal aus ihrer neuesten Arbeit A deformation for instanton homology of webs:
The homology J♯(K) is constructed from the Morse theory of the Chern-Simons functional on a space of connections B associated with K. In this paper, we introduce a system of local coefficients Γ on B and use it to define a variant, J♯(K;Γ), which is module over the ring R = F[Z3] (elements of which we write as finite Laurent series in variables T1, T2, T3). The property that is conjectural for J♯(K) is a theorem for its deformation J♯(K;Γ).
Peter Kronheimer, Tomasz Mrowka (2017). A deformation of instanton homology for webs ArXiv
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