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Fortschritte zur Riemann-Vermutung

Von / 1. Juli 2019 / 11 Kommentare
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Bei der Riemann-Vermutung geht es um die Nullstellen der oben abgebildeten Zetafunktion (und letztlich um die Verteilung der Primzahlen). Die Zetafunktion \zeta(s) hat ‘triviale’ Nullstellen -2,-4,-6,… und außerdem viele Nullstellen auf der Gerade 1/2+it (t reell). Die Riemann-Vermutung besagt, daß es darüber hinaus keine weiteren Nullstellen gibt.
Wenn korrekt, würde aus der Riemann-Vermutung die genauest-mögliche Abschätzung für die Anzahl von Primzahlen kleiner x folgen:
Die Anzahl der Primzahlen kleiner x ist näherungsweise das Integral über 1/ln(t) von t=2 bis t=x. Aus der Riemann-Vermutung würde folgen, daß der Fehler dieser Näherungsformel höchstens x1/2ln(x)/8π ist (für x größer als 2657). Wie Schoenfeld 1976 bewiesen
hat, ist dies die bestmögliche Ungleichung für den Fehler der Näherungsformel.

Es gibt zahlreiche Umformulierungen der Riemann-Vermutung, manche nützlich und manche nicht. Eine der Umformungen verwendet die Jensen-Polynome J_{d,n}(x)=\sum_{j=0}^d \frac{d!}{j!(d-j)!} \alpha(n+j)x^j, wobei die Folge \alpha(j) gegeben ist als Koeffizienten in (-1+4z^2)\Lambda(z+\frac{1}{2})=\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha(n)}{n!}z^{2n} mit \Lambda(s)=\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\zeta(s).

Die Riemann-Vermutung ist äquivalent zu der Vermutung, dass alle Jensen-Polynome Jd,n nur reelle Nullstellen haben.

In einer letzten Monat erschienenen Arbeit Jensen polynomials for the Riemann zeta function and other sequences (von Michael Griffin, Ken Ono, Larry Rolen und Don Zagier) werden zu dieser Frage nun einige Teilergebnisse erzielt. Zum einen wird die Behauptung für d≤8 und beliebige n bewiesen (bisher war das nur für d≤3 bekannt), und zum anderen wird für jedes feste d bewiesen, dass die Behauptung für alle hinreichend großen n gilt. (Tatsächlich folgt das erste Resultat aus dem Beweis des zweiten, indem die im Beweis verwendeten Konstanten explizit genutzt werden.) Enrico Bombieri bezeichnet das als einen „major breakthrough“, die Methoden der Arbeit würden einen neuen Ansatz zum Beweis der Riemann-Vermutung darstellen.

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Kommentare (11)

  1. #1 Frank Wappler
    1. Juli 2019

    Thilo schrieb (1. Juli 2019):
    > […] die Jensen-Polynome J_{d,n}(x)=\sum_{j=0}^d \frac{d!}{j!(d-j)!} \alpha(j)x^j, wobei die Folge \alpha(j) gegeben ist als Koeffizienten in […]

    Es gibt offenbar verschiedene Formulierungen der Jensen-Polynome.
    In dieser, z.B.: …

    J^{\alpha}_{b, n}[ \, z \, ] := \sum_{j = 0}^{b} \left[ \, \frac{b!}{j! \, (b - j)!} \, \alpha[ \, n + j \, ] \, z^j \right]

    … treten alle symbolischen Indices bzw. Variablen, die zur individuellen Bezeichung der Jensen-Polynome (auf der linken Seite) gebraucht werden, ausdrücklich als freie Parameter bzw. Variablen in der entsprechenden Definition-Formel (auf der rechten Seite) auf.

  2. #2 Thilo
    1. Juli 2019

    Man kann solche Polynome auch für andere Folgen alpha betrachten, aber für den Zusammenhang mit der Zetafunktion braucht man schon die im Artikel angegebene spezielle Folge.

  3. #3 Frank Wappler
    1. Juli 2019

    Thilo schrieb (#2, 1. Juli 2019):
    > Man kann solche Polynome auch für andere Folgen alpha betrachten, für den Zusammenhang mit der Zetafunktion braucht man schon die im Artikel [ https://www.pnas.org/content/116/23/11103 ] angegebene spezielle Folge.

    Zweifellos.
    Vermutlich braucht man dabei aber auch die in rechten Seite von Gleichung [2] des o.g. Artikels (als auch in der rechten Seite der Gleichung aus Kommentar #1) ausdrückliche Abhängigkeit des Jensen-Polynoms vom “shift“-Wert n;
    die im obigen ScienceBlogs-Artikel offenbar nicht erscheint.

  4. #4 Thilo
    1. Juli 2019

    Sorry, das n+j im Argument hatte ich vergessen.

  5. #5 rob
    2. Juli 2019

    Ich interessiere mich sehr für Mathe und vor allem um die ungelösten Probleme, bisher dachte ich auch dass ich laienhaft die Riemannvermutung verstanden hatte, aber ich verstehe bei diesem Artikel nur Bahnhof. Nichtmathematiker sind hier leider außen vor. 🙁

  6. #6 Daniel
    2. Juli 2019

    Ich denke, man hat hier eine Äquivalenz gefunden, die hikfreich ist, sofern man eines der beiden Beweise gefunden hat, um dann auf den jeweils anderen zu schliessen.

  7. #7 Joseph Kuhn
    2. Juli 2019

    @ Thilo:

    Ich nehme an, damit kommt man endlich auch dem Problem der Primzahlnachbarn etwas näher? 😉

    Im Ernst: Ohne das Formelwerk auch nur ansatzweise zu verstehen, finde ich solche Entdeckungen beeindruckend. Sie kommen mir vor wie ein bisher unbekannter Abzweig in einem Labyrinth, das (vorerst) niemand überschaut, aber dessen Ausgänge manchmal zu etwas führen, das jeder kennt, hier die Primzahlen.

  8. #8 Frank Wappler
    2. Juli 2019

    Thilo schrieb (#4, 1. Juli 2019):
    > Sorry, das n+j im Argument hatte ich vergessen.

    Offenbar war (lediglich) das “n+” vergessen worden; und das wurde mittlerweile ergänzt.
    Na schön — das ist verzeihlich: “Vergessen ist (individuell) menschlich.”
    Und Danke für die entsprechende Korrektur und Rückmeldung.

    Obwohl es auch etwas enttäuschend ist, dass fast 20 Jahre nach Gründung der Wikipedia immer noch dermaßen individuell-menschlich-fehleranfällig korrespondiert wird (wenn es um “hartes”/nachvollziehbares Schaffen geht, also z.B. um mathematisches, wie im obigen ScienceBlogs-Beitrag).

    Etwas weniger verzeihlich scheint mir, dass sich die Erkenntnis offenbar nicht allein schon durch meinen (obigen) Kommentar #1 einstellte …

    p.s.
    Der Balkon hatte ja offenbar tatsächlich derartige Ausmaße, um einen Aufstellpool von 3 m Durchmesser hinsetzen (und durch hinreichendes Befüllen zum Absturz bringen) zu können.

  9. #9 Braunschweiger (DE)
    2. Juli 2019

    @Frank Wappler #8
    >> “Etwas weniger verzeihlich scheint mir, dass sich die Erkenntnis offenbar nicht allein schon durch meinen (obigen) Kommentar #1 einstellte …” – aus #8.

    Sind Sie Gott, sind Sie absolut und wissen alles? —
    Spielen Sie nicht Sheldon Cooper; etwas weniger Arroganz wäre durchaus angebracht! Gleich schon habe ich viel weniger Motivation hier im Blog zu lesen…

  10. #10 1
    1
    9. Juli 2019

    1

  11. #11 Thilo
    16. Juli 2019

    Noch ein Nachtrag zum Medienecho: https://www.sueddeutsche.de/wissen/riemann-mathematik-vermutung-1.4493582