8:2(2+2) bringt es in die New York Times

Von Thilo / 6. August 2019 / 70 Kommentare

Letzte Woche würde man über Twitter permanent mit der Frage nach dem Ergebnis von 8:2(2+2) oder Varianten jener Aufgabe belästigt. Das Ergebnis ist natürlich 16 und ich hatte eigentlich nicht vor, hier im Blog etwas zu diesem trivialen Problem zu schreiben. Aber in der New York Times vom vergangenen Freitag gibt es jetzt doch einen lesenswerten Artikel The Math Equation That Tried to Stump the Internet von Stephen Strogartz, der eigentlich alles zusammenfaßt, was dazu noch zu sagen war:

If everyone else is driving on the right side of the road (as in the U.S.), you would be wise to follow suit. The same goes if everyone else is driving on the left, as in the United Kingdom. It doesn’t matter which convention is adopted, as long as everyone follows it.

Likewise, it’s essential that everyone writing software for computers, spreadsheets and calculators knows the rules for the order of operations and follows them.

Kommentare (70)

#1 Beobachter
6. August 2019

Mit welchen Fragen/Varianten zu jener Aufgabe konnte man jemanden belästigen ?
(Bin nicht bei Twitter.)
Geht doch eigentlich gar nicht – ist doch eindeutig, wenn man sich an die hier üblichen, bekannten Mathematik- bzw. Rechen- (Grund)Regeln hält !
#2 Thilo
6. August 2019

Die Frage war, ob das Ergebnis 16 oder 1 ist. Letzteres würde man erhalten, wenn man die Formel als interpretiert, also als Bruch, wo im Zähler 8 steht und im Nenner 2(2+2).
#3 kereng
Hamburg
6. August 2019

Die ohne Zwischenraum vor die Klammer geschriebene 2 suggeriert eine enge Bindung. Anders gefragt: wenn x=4 ist, wieviel ist dann 8 geteilt durch 2x?
#4 rolak
6. August 2019

interpretiert

Die Fehlschluß-Herleitung aus dem von Dir verlinkten Artikel leuchtet mir eher ein, Thilo. Die an sich hilfreiche Grundregel ‘erst mal das in Klammern’ ist ja ok, beinhaltet jedoch keineswegs ein ‘und dann die Klammerung vergessen’. Doch gerade letzterer Schritt ist mir schon des öfteren zur Untermauerung des Fehldenkens vorgeführt worden, wenn auch typischerweise aus der Algebra, nicht so konkret mit Ziffern/Zahlen.
#5 foobar407
6. August 2019

Das Ergebnis ist natürlich 16

Das Ergebnis ist eben nicht “natürlich” 16. Das ist der ganze Punkt des Artikels. Je nach dem welche Konvention man anlegt, ist es 1 oder 16. Welche Konvention man nutzt ist nicht “natürlich” vorgegeben, und die Konventionen an sich sind auch eher willkürlich als natürlich.

Vielleicht interessant auch noch der Kommentar des Autors dazu interessant:

Several commenters appear to be using a different (and more sophisticated) convention than the elementary PEMDAS convention I described in the article. In this more sophisticated convention, which is often used in algebra, implicit multiplication (also known as multiplication by juxtaposition) is given higher priority than explicit multiplication or explicit division (in which one explicitly writes operators like × * / or ÷).
#6 Herr Senf
6. August 2019

Ganz lustig wird die Schreibweise 8 / 2*(2+2) “wegen Punkt vor Strich”. Nämlich
der Schrägstrich “/” als Divisionszeichen (:) suggeriert einen Bruch, dann wird’s “1”.
“links-vor-rechts-Regel” hilft nur bedingt, Konvention hängt ab, wo man gelernt hat.
In russischen Lehrbüchern vermeidet man die irreführende Kettenschreibweise,
konsequent Brüche (Formelschreibweise) oder (eindeutig) klammern 8 / (2*(2+2)) ,
so isses “1” oder (8/2) * (2+2) , dann wird’s “16” , ich bevorzuge “rechts-vor-links”.
#7 Beobachter
6. August 2019

O Gott, wenn es schon bei solchen einfachen Grundrechenarten-Aufgaben zu solchen vermeintlichen “Missverständnissen/Interpretationsproblemen” kommt –
zu welchen dann erst bei Aufgaben aus der “höheren Mathematik” ?
Aber dazu würden sich vermutlich sehr viel weniger Leute äußern (und schnell/kurz mal auf Twitter ihren Senf dazugeben), weil die eh kaum einer versteht …

Da bleibt einem wirklich nur noch die Musik … 😉
#8 rolak
6. August 2019

der ganze Punkt

Nee, foobar407, der Punkt wird ganz am Anfang mit dem Verkehrsbeispiel geklärt: wenn irgendwo eine Konvention gilt, dann halte man sich daran. Selbstverständlich wird auch hierzulande ab+zu Linksverkehr oder EinbahnAndersrum zelebriert, doch das führt halt zu Problemen – bei diesen StVO-Neuinterpretierern genauso wie bei den in dem von Dir Zitierten beschriebenen ‘several’.
Private NeuEinstufung eines nur wg Schreibfaulheit weggelassenen Operators ist halt genauso wenig Konvention wie ‘alle Terme mit beliebiger OperatorKombination sind assoziativ’.
#9 regellrudi
6. August 2019

Die Lösung 16, ist die das Produkt der Gleichung
8 : 2 x 4 oder ist die der Quotient der Gleichung ?
Kommt mir aber nicht mit der Antwort Produkt und Quotient sind das geliche.
#10 foobar407
6. August 2019

@rolak

Nee, foobar407, der Punkt wird ganz am Anfang mit dem Verkehrsbeispiel geklärt: wenn irgendwo eine Konvention gilt, dann halte man sich daran.

Erstens, genau. Dass man überhaupt eine Konvention geschaffen hat, hatte den Hintergrund, dass die Lösung eben nicht “natürlich” ist.

Zweitens gibt es im vorliegenden Fall zwei gültige Konventionen, die beide ein unerschiedliches Ergebnis hervorbringen!
#11 Engywuck
6. August 2019

Bei einem der letzten solchen “Rätsel” wurde noch angemerkt, dass (angeblich?) Anfang des 20. Jahrhunderts in den USA der Obelus \div (“Minus mit Punkten”) eine andere Bedeutung hatte als : und /
Wenn ich mich recht erinnere war es das Zeichen für “alles danach unter den Bruchstrich” – und damit wäre das Ergebnis 1
#12 Bariton
Bornheim
6. August 2019

Man sollte viel öfter die Schreibweise als Bruch benutzen. Dann taucht das Problem gar nicht erst auf. Außerdem wird die Lösung dadurch erleichtert, dass man Brüche viel einfacher kürzen kann (in diesem Fall sicher nicht unbedingt relevant).
#13 nouise
6. August 2019

Lustig:
Der Autor schreibt “natürlich (!!1!) ist die Antwort 16” und referenziert einen lesenswerten Artikel als Begründung.

Unter besagtem Artikel beschreibt der Autor daß die Lösung eben nicht “natürlich” 16 ist, sondern im wesentlichen davon abhängt, welcher Konvention man beim Fehlen von Operatoren folgt.
#14 Thilo
6. August 2019

Natürlich war nicht im Sinne von naturgegeben gemeint, sondern dass in Anbetracht der herrschenden Konvention 16 natürlich die richtige Lösung ist.
#15 Karl Mistelberger
mistelberger.net
6. August 2019

>Letzte Woche würde man über Twitter permanent mit der Frage nach dem Ergebnis von 8:2(2+2) oder Varianten jener Aufgabe belästigt. Das Ergebnis ist natürlich 16 und ich hatte eigentlich nicht vor, hier im Blog etwas zu diesem trivialen Problem zu schreiben.

Ich besitze einen HP 20S. Der antwortet auf die Eingabe mit:

8:2(2+2)=2
#16 schlappohr
6. August 2019

@regellrudi

das Produkt der Gleichung
8 : 2 x 4 oder ist die der Quotient der Gleichung ?

Was um alles in der Welt meinst du damit? 8:2*4 ist ein Term (keine Gleichung!), und wenn man den auswertet, kommt 16 heraus. Dazu berechnet man zuerst den Quotienten von 8 und 2 und dann das Produkt von 4 und 4.
#17 Frank Wappler
6. August 2019

Karl Mistelberger schrieb (#15, 6. August 2019):
> Ich besitze einen HP 20S. Der antwortet auf die Eingabe mit: 8:2(2+2)=2

Faszinierend.
Womit beantwortet Dein HP 20S die Eingabe “8:2(4) =” ?

p.s.
Ich besitze einen SHARP EL-520WG. Der antwortet auf die Eingabe “8:2(2+2) =”
mit “1“.
(Und das ist mir recht so.)
#18 regelrudi
7. August 2019

schlappohr
mathematisch ist das alle klar. Nochmal die Frage :
Ist die Lösung des Terms(gemeint ist 16) ein Quotient oder ein Produkt des Terms.
Es geht hier um eine sprachliche Konvention.
Deine Antwort ist logisch richtig, aber du weichst aus.
#19 tomtoo
7. August 2019

Da sieht man mit welchem Schwachsinn arme Schulkinder belastet werden.
Nachdem ein HP20S auf die Lösung 2 kam. Und überhaupt ein haufen Zweier zu sehen sind. Gehe ich jetzt mal rein Statistisch davon aus, dass nur 2 die richtige Lösung sein kann. Natürlich könnte es da Abweichungen geben
#20 Uli Schoppe
7. August 2019

Herr Mistelberger und Herr Wappler zeigen ja schön das das mit der Konvention nicht so einfach ist wie behauptet.
#21 Karl Mistelberger
mistelberger.net
7. August 2019

> #19 tomtoo, 7. August 2019
> Da sieht man mit welchem Schwachsinn arme Schulkinder belastet werden.

Als die Taschenrechner mit Klammern und Gleichheitszeichen ausgerüstet wurden lautet das Argument:

Einfach eintippen wie hingeschrieben und das richtige Ergebnis wird nach Drücken von “=” angezeigt.

Die implizite Multiplikation führt der HP 21S aber nicht aus. Er verwirft den Ausdruck vor dem virtuellen Malzeichen und berechnet den Ausdruck dahinter (oder auch nicht).

Schulkinder lernen für das Leben, wenn man ihnen diesen Sachverhalt vor Augen führt.

Schwachsinn ist allerdings zu behaupten, ein Taschenrechner müsse einer bestimmten Konvention folgen, wenn er es offensichtlich nicht tut.

Auf dem HP 21S ist natürlich: 8:2(4)=2
#22 roel
7. August 2019

@Thilo Unglaublich, das wird über Twitter verbreitet? Ich schau mir Trump auf Twitter an, aber sonst nicht viel. Ist scheinbar besser so. Diese Aufgabe ist schon etwas älter. Leider liefern die ersten Suchergebnisse ein 404. Aber hier ist eine vietnamesische Seite, die es auch schon 2017 fragte: https://vnexpress.net/cuoi/60-nguoi-dua-ra-dap-an-bai-toan-nay-la-1-con-ban-3630834.html#box_comment
#23 schlappohr
7. August 2019

Ich verstehe deine Frage irgendwie nicht. Ein Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation. Das ist eine zweistellige Operation, sie benötigt zwei Operanden. Was soll also das Produkt *eines* Terms sein? Was ist das Produkt von 16? Oder dessen Quotient? Sorry, vielleicht reden wir aneinander vorbei.
#24 uwe hauptschueler
7. August 2019

Konventionen im Straßenverkehr sind in D durch den Gesetzgeber mit der Straßenverkehrsordnung festgelegt.
Wo finde ich die Konventionen die die Lösung der o.g. Aufgabe ermöglichen? In Wikipedia und Bartsch, Mathematische Formeln waren sie nicht auffindbar. Wem die Aufgabe völlig klar ist, möge mir bitte die Lösung, unter Angabe der Kovention und deren Fundstelle, vorrechnen.
Die Wurzel von 4 hat zwei Lösungen, warum sollte das nicht auch für obige Aufgabe gelten?
#25 Thilo
7. August 2019

Die Konvention ist zum einen, dass Punkt- vor Strichrechnung geht, und zum anderen, dass verschiedene Punktrechnungen in der Reihenfolge des Erscheinens durchgeführt werden (wie es ein Taschenrechner macht).
#26 uwe hauptschueler
7. August 2019

Mein Taschenrechner arbeitet mit UPN. Da muss ich die Konventionen schon selber wissen.

Reihenfolge des Erscheinens

Wer hat das so festgelegt, wo steht das?
#27 schlappohr
7. August 2019

#24
Die Konventionen stehen in jedem Mathematikbuch für Drittklässler. Du hast sie auch einmal gelernt.
#28 Beobachter
7. August 2019

Wenn ich mir hier die Kommentare zu diesem Rechen-“Problem”, das eigentlich keines ist, so ansehe –
würde ich mir wünschen, dass genauso viel und engagiert kommentiert werden würde zu wirklichen Problemen wie Pflegenotstand, Wohnungsmangel etc. …
#29 Plastekasper
7. August 2019

Der Autor erwähnt das Programmieren von Software und dass dabei eben solche Konventionen essenziell sind. Schade, dass er eben diesen Punkt nicht weiter ausführt. Nur mal zwei Bemerkungen dazu:

(1) Schon im ersten Programmierbüchlein oder Tutorial lernt man, dass “:” und “/” oftmals zwei völlig verschiedene Dinge sind. Man lernt, dass es sogar noch “\” und “%” geben kann und schon stellt man fest, dass trivial erscheinende Dinge wie solche Formeln bei genauerer Betrachtung eine enorme Komplexität aufweisen können, welche mit eben solchen Konventionen in den Griff zu bekommen ist.

(2) Die Reihenfolge der Operatorenauswertung folgt einem strengem, festgelegten Schema. Und das ist gut so. Und trotzdem ist die Lösung nicht immer sofort einleuchtend, wenn man eine Codezeile mit einer Berechnung aus vielen Variablen und Operatoren sieht. Selbst wenn man diese Zeile ein paar Tage zuvor eigenhändig geschrieben hat. Deshalb raten viele Bücher und Tutorials immer alles weitestgehend zu Klammern. So wird beim Lesen sofort ersichtlich, was zusammen gehört und man kann es von Innen nach Außen auflösen.

Beim Lesen dieser Formel denkt man als Programmierer also eher: “Das gibt zunächst einen Compilerfehler und danach findet man den Fehler im System nicht, weil nicht geklammert wurde. Die Lösung ist also: Exception at line 1”

Richtig spannend wird es ab hier aber mit den Konventionen, wenn man sich bewusst macht, dass bei einem Fließkommaergebnis einer solchen Formel – sagen wird 2.5 – manchmal 2.5 und manchmal 2 rauskommen kann. Je nach Programmiersprache unterscheiden sich solch grundlegende Konventionen manchmal erheblich.

Vielleicht sollten wir also nicht Konventionen lehren, sondern eher die Tatsache, dass man sich immer n einem Kontext bewegt und jeder Kontext seine eigenen Konventionen mit sich bringt, welche man sich immer erst bewusst machen muss.
#30 foobar407
7. August 2019

Die Konvention ist zum einen, dass Punkt- vor Strichrechnung geht, und zum anderen, dass verschiedene Punktrechnungen in der Reihenfolge des Erscheinens durchgeführt werden

Es macht aber anscheinend manchmal einen Unterschied, ob die Multiplikationsoperator explizit mit angegeben ist, oder nicht.

(wie es ein Taschenrechner macht).

Die machen es unterschiedlich, weil es unterschiedliche Konventionen gibt.
#31 Engywuck
7. August 2019

@Plastekasper: dazu kommt noch, dass sich die Konventionen von Programmiersprache zu Programmiersprache unterscheiden. Ist -2² im Ergebnis -4 (komplett geklammert also -(2²)) oder +4 (also (-2)²). Je nachdem, ob Potenzen oder “unary operators” eine höhere Wertigkeit haben ist beides korrekt…

Auch von-links-nach-rechts muss nicht immer gegeben sein. Spätestens dann, wenn die Argumente (Unter)Funktionen sind wird’s ohnehin oft undefiniert.
Was ist das Ergebnis von x = 3; y= x++ * ++x
#32 Beobachter
7. August 2019

Es geht doch hier nicht um Konventionen bei Programmiersprachen, sondern um einfache Konventionen bei Grundrechenarten, die schon in der Grundschule bekannt sind !

Aber warum einfaches Kopfrechnen, wenn`s auch komplizierter mit Taschenrechner und Computer geht.
#33 regelrudi
7. August 2019

schlappohr,
es geht um den Sprachgebrauch.
Das Ergebnis eines Terms mit einem Divisor nennt man Quotient. (8×4) / 2 = 16 (Quotient)
Wenn du aber zuerst dividierst erhältst du als Zwischenergebnis auch einen Quotienten, der aber beim Weiterrechnen zum Faktor wird und das Endergebnis des Terms ein Produkt wird. (8:2) x 4 = 16 (Produkt)
Meine Frage geht in die Richtung, ob der Sprachgebrauch festgeleg ist.
Denn ohne Regel gilt Produkt = Quotient. (quantitativ)
#34 schlappohr
7. August 2019

Ah, jetzt verstehe ich. Es geht darum, ob die letzte Rechenoperation bei der Auswertung des Terms eine Multiplikation oder eine Division ist, richtig?
Nach dem Auflösen der Klammer bleiben nur eine Division und eine Multiplikation übrig, die nach der PEMDAS-Konvention gleiche Priorität haben und daher von links nach rechts ausgewertet werden, also zuerst 8:2 (=4) und dann 4*4 (=16). In deiner Sprechweise wäre das also ein Produkt.
#35 regelrudi
7. August 2019

schlappohr,
so war es gemeint. Nach Wikipedia ist die Hirarchie der Rechenoperationen nur eine Halbordnung, weil Division und Multiplikation gleichwertig sind.
was ist aber 2³ x 2 hoch minus 3 ? Ist das jetzt ein Produkt oder ein Quotient ?
#36 schlappohr
7. August 2019

Meinst du

2^3 * 2^(-3)

oder

(2^3 * 2)^(-3)

Im ersten Fall ein Produkt (Weil Potenzierung eine höhere Priorität hat), im Zweiten Fall ist die letzte Operation die Potenzierung, also weder Produkt noch Quotient.
#37 Christian Berger
7. August 2019

Im Prinzip hat das alles mehr mit Sprache als mit Mathematik zu tun. Man kann immer verwirrende und unnötig komplizierte Sprache für Aussagen finden.

Hier ist halt das Problem, dass die Multiplikation und die Division auf der gleichen Hierarchiestufe stehen, was die Struktur der Aussage uneindeutig macht, oder zumindest verlangt, dass man selten verwendete Regeln der Sprache kennt. Deshalb verwendet man auch, wenn man sich klar ausdrücken möchte, möglichst ein Subset seiner Sprache.
#38 Frank Wappler
7. August 2019

uwe hauptschueler schrieb (#24, 7. August 2019):
> Wo finde ich die Konventionen die die Lösung der o.g. Aufgabe ermöglichen? […]

Allgemeine Festsetzungen zur Reihenfolge der Auswertung von Termen,
deren Anwendung (insgesamt) insbesondere auf den Ausdruck $8\, / \, 2 \, (2 + 2)$
das Ergebnis $1$ ermöglichen, sind (z.B.):

– ausdrückliche balancierte und kompatible Klammersetzung (d.h. insbesondere Paare von runden Klammern zur Gruppierung, oder Klammern zur Angabe der Argumente einer Funktion) geht vor

– implizite Exponenzierung (notiert als “Hochstellen des Exponenten”) geht vor

– implizite Multiplikation (notiert als hintereinandergeschriebene, ggf. durch Leerzeichen getrennte Faktoren) geht vor

– ausdrücklich notierte Exponenzierung (durch “Caret” oder “Doppelstern”) geht vor

– “(einfache) Punktrechnung” (notiert mit ausdrücklichen Multiplikations- oder Divisionszeichen zwischen den Operanden) geht vor

– “Strichrechnung” (notiert mit ausdrücklichen Additions- oder Subtraktionszeichen zwischen den Operanden).

(Allgemeine Festsetzungen zur Reihenfolge der Auswertung von Termen, deren Anwendung auf den Ausdruck $8\, / \, 2 \, (2 + 2)$ ein anderes Ergebnis als ausschließlich $1$ ermöglicht, weichen von den oben genannten zwangsläufig in einem oder in mehreren Punkten ab. …)
#39 Frank Wappler
https://Korrektur.zu.#38
7. August 2019

uwe hauptschueler schrieb (#24, 7. August 2019):
> Wo finde ich die Konventionen die die Lösung der o.g. Aufgabe ermöglichen? […]

Allgemeine Festsetzungen zur Reihenfolge der Auswertung von Termen,
deren Anwendung (insgesamt) insbesondere auf den Ausdruck $8\, / \, 2 \, (2 + 2)$
das Ergebnis $1$ ermöglichen, sind (z.B.):

– ausdrückliche balancierte und kompatible Klammersetzung (d.h. insbesondere Paare von runden Klammern zur Gruppierung, oder Klammern zur Angabe der Argumente einer Funktion) geht vor

– implizite Exponenzierung (notiert als “Hochstellen des Exponenten”) geht vor

– ausdrücklich notierte Exponenzierung (durch “Caret” oder “Doppelstern”) geht vor

– implizite Multiplikation (notiert als hintereinandergeschriebene, ggf. durch Leerzeichen getrennte Faktoren) geht vor

– “(einfache) Punktrechnung” (notiert mit ausdrücklichen Multiplikations- oder Divisionszeichen zwischen den Operanden) geht vor

– “Strichrechnung” (notiert mit ausdrücklichen Additions- oder Subtraktionszeichen zwischen den Operanden).

(Allgemeine Festsetzungen zur Reihenfolge der Auswertung von Termen, deren Anwendung auf den Ausdruck $8\, / \, 2 \, (2 + 2)$ ein anderes Ergebnis als ausschließlich $1$ ermöglicht, weichen von den oben genannten zwangsläufig in einem oder in mehreren Punkten ab. …)
#40 regelrudi
7. August 2019

schlappohr,
der erste Fall war gemeint und ist damit auch die Beantwortung meiner Frage.
Bei Wikipedia sprechen sie von Operatoren und gehen so dem Problem aus dem Weg.
Die Bezeichnung Ouotient oder Produkt richtet sich nach der Rechenvorschrift mal oder geteilt und nicht nach dem Wert des letzten Operanden.
#41 Casio-Besitzer
Stuttgart
7. August 2019

Flugs meinen Casio fx-991DE PLUS mit “natural Display” gefragt und siehe da, der scheint recht “intuitiv” zwischen “enger Bindung” und “weniger enger Bindung” zu unterscheiden, denn 8:2(2+2) ergibt 1, während er für 8:2*(2+2) als Ergebnis 16 ausgibt.
#42 uwe hauptschueler
7. August 2019

Ein Blick ins Gesetz erleichtert die Rechtsfindung

Die IUPAC legt Regeln für Chemie fest, das IOC für Olympische Spiele, die FIFA fürs Fußballspielen.
Gibt es eine Institution, die Rechenregeln für verbindlich erklärt?

<<Jene, die bei der Rechnung auf die
Zahl 1 kommen, nutzen eine veraltete Version der Operatoren- Rangfolge.»
«Diese Rangfolge sieht vor, dass man zuerst multipliziert 2(4) und dann 8 durch 8 teilt. Diese Lösung wäre vor 100 Jahren richtig gewesen.»

Q.:https://www.watson.ch/leben/rätsel%20der%20woche/649821179-dieses-mathe-raetsel-macht-gerade-alle-verrueckt
Wer hat also vor 100 Jahren die Regeln geändert?
#43 nouse
7. August 2019

Die einzig relevante Authorität auf dem Gebiet meint übrigens folgendes:

https://i.postimg.cc/cJ6wk4xD/Unbenannt.png

Der Term ist einfach scheisse notiert. So einfach 🙂
#44 Karl Mistelberger
mistelberger.net
7. August 2019

> #25 Thilo. 7. August 2019
> Die Konvention ist zum einen, dass Punkt- vor Strichrechnung geht, und zum anderen, dass verschiedene Punktrechnungen in der Reihenfolge des Erscheinens durchgeführt werden (wie es ein Taschenrechner macht).

Nope: The difficulty is that different educated and competent people follow different sets of rules. There is, unfortunately, no one set of rules that is universally used, contrary to what some people would try to have you believe.
…
Conclusion: How many hours are wasted in debates such as this one? How many times have readers interpreted a mathematical expression differently from what the author intended? And all this just to save two seconds and two characters of typing—just a simple () to make intent explicit. People who wish to save two seconds yet waste hours in debate on this subject really need to do a serious self-appraisal of their priorities. This is not the attitude of a professional mathematician or physicist—their goal is clear communication, not game-playing with deliberate ambiguity, either with an arrogant “I’ve got secret knowledge that you don’t and I want to put you down and show off my special knowledge and your stupidity” or to stir up contention, stand back, and watch the fur fly. Either way, you are not respected by the mathematics and physics communities.

Write expressions with plenty of bracketing or vertical structure where there is variation of understanding on how to interpret or an expression is particularly complex. This applies especially in cases where divisions are followed by multiplications or additional divisions. This does not mean to have explicit bracketing for every operation—that generates a lot of clutter causing difficulty to know which right bracket goes with which left bracket, and it is quite well accepted that exponentiation takes precedence over all other arithmetic operations, and multiplications and divisions always take precedence over additions and subtractions.

The best position is to avoid rewarding ambiguity and say the posted expression is undefined. If you are in a circumstance where you must provide an answer and the author is unavailable to ask intent, the answer 2 stands on firmer ground; however, if you are in secondary school and this is a homework or test question, it is almost certain that your teacher will grade according to BIDMAS/BODMAS/PEMDAS so you had better answer 8 to get credit while you hold your nose knowing that it stinks to have an education system teaching concepts contrary to professional practice.

Can you help me find the right answer to this question: 8 ÷ 2 (4-2) =?

Amen.
#45 Frank Wappler
8. August 2019

Karl Mistelberger schrieb (#44, 7. August 2019):
> [Howard Ludwig wrote (Nov 5, 2017):]
> […] »hold your nose knowing that it stinks to have an education system teaching concepts contrary to professional practice.«.

Sicherlich nicht der einzig-denkbare Ratschlag in einem Land, in dem “homeschooling” (schon) legal wäre …

p.s.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=8+:+2+(2+%2B+2)
#46 PatrickN
8. August 2019

Mein HP 15 C mit umgegehrter polnischer Notation gibt nach Eingabe von

8 enter 2 enter / 2 enter 2 + *

16 aus.

Wie zum Teufel kommt man auf die Idee daß der Rechner den fehlenden Operator von selbst einsetzt?
Um mit “anderen Konventionen” führender Taschenrechnerhersteller zu prahlen?

Das lesen des Handbuchs hilft einem da schon weiter.
#47 tomtoo
8. August 2019

Das mit Wolframalpha ist ja spannend. Is it a Bug? No it is a feature.
#48 Karl Mistelberger
mistelberger.net
8. August 2019

> #46 PatrickN, 8. August 2019
> Mein HP 15 C mit umgekehrter polnischer Notation gibt nach Eingabe von “8 enter 2 enter / 2 enter 2 + *” 16 aus.

Wenn ich den galculator mit UPN benutze:

8 enter 2 enter / 2 enter 2 + *
Ergebnis: 4

8 enter 2 / 2 enter 2 + *
Ergebnis : 16

> Wie zum Teufel kommt man auf die Idee dass der Rechner den fehlenden Operator von selbst einsetzt? Um mit “anderen Konventionen” führender Taschenrechnerhersteller zu prahlen?

Ich bin nicht auf diese Idee gekommen. Ich habe die Missionare der Klammern und des Gleichheitszeichens einfach beim Wort genommen.

> Das lesen des Handbuchs hilft einem da schon weiter.

Der Trick bei HP 35 und seinesgleichen ist, dass man kein Handbuch benötigt.
#49 schlappohr
8. August 2019

@Karl Mistelberger

The difficulty is that different educated and competent people follow different sets of rules. There is, unfortunately, no one set of rules that is universally used, contrary to what some people would try to have you believe.

Ich frage mich, wo die educated and competent people sind, die eine andere Konvention als PEMDAS verwenden. Es spielt keine Rolle, ob ich ein Paper aus Europa, USA, Fernost oder Australien reviewe oder auch nur in ein beliebiges Schulbuch schaue, es wird immer die gleiche Operatorpräzedenz verwendet. Die PEMDAS-Konvention ist Quasi-Standard in der Mathematik, auch wenn vereinzelt irgendwo andere Konventionen verwendet werden oder vor 100 Jahren verwendet wurden. Wenn ein Ausdruck eine Mehrdeutigkeit zulässt, ist man gut beraten, ihn streng nach PEMDAS zu interpretieren, anstatt mehrere widersprüchliche Lösungen nach unterschiedlichen Konventionen zuzulassen oder den Ausdruck gleich als undefiniert zu deklarieren.

Dennoch ist es auf jeden Fall die bessere Strategie, den Ausdruck so aufzuschreiben, dass Mehrdeutigkeiten ausgeschlossen sind:
8
— (2+2)
2
und das ganze Gezwitscher wäre hinfällig. Hier käme niemand auf die Idee, zuerst 2*(2+2) zu rechnen, weil durch den Bruchstrich implizit eine Klammer um den gesamten Nenner gesetzt wird. So wird die Schreibweise mit dem Doppelpunkt oder einem Querstrich für die Division genau aus diesem Grund in komplizierten Ausdrücken vermieden und stattdessen ein Bruch verwendet. Ein schönes Beispiel ist
2x/3y
Streng nach PEMDAS wäre das ((2*x)/3)*y = (2/3)xy, aber das ist wohl hier nicht gemeint. Also schreibt man besser
2x
—
3y
#50 Uli Schoppe
8. August 2019

Ganz ehrlich? So wie das geschrieben ist war bei mir der spontane Eindruck da war mal wieder jemand zu blöde einen Bruch vernünftig hinzuschreiben ^^ Was man zum Teil in der Schule auch nicht mehr macht. Genauso wie das unsägliche Benutzen von Dezimalzahlen in Gleichungen immer mehr einreißt. Weil es angeblich einfacher ist…
#51 Uli
8. August 2019

ist 8:2a oder 8/2a auch 16?
wenn a := 4
#52 schlappohr
8. August 2019

So wie das geschrieben ist war[…]

Was genau stört dich? Und was ist falsch an Dezimalzahlen in Gleichungen?
#53 schlappohr
8. August 2019

@Uli #51
Streng nach PEMDAS, ja. Wenn du möchtest, das 8 durch 2a geteilt wird, dann schreibe es als Bruch oder mit Klammern.
#54 Karl Mistelberger
mistelberger.net
8. August 2019

> #49 schlappohr, 8. August 2019
>> The difficulty is that different educated and competent people follow different sets of rules. There is, unfortunately, no one set of rules that is universally used, contrary to what some people would try to have you believe.

> Ich frage mich, wo die educated and competent people sind, die eine andere Konvention als PEMDAS verwenden. Es spielt keine Rolle, ob ich ein Paper aus Europa, USA, Fernost oder Australien reviewe oder auch nur in ein beliebiges Schulbuch schaue, es wird immer die gleiche Operatorpräzedenz verwendet. Die PEMDAS-Konvention ist Quasi-Standard in der Mathematik, auch wenn vereinzelt irgendwo andere Konventionen verwendet werden oder vor 100 Jahren verwendet wurden. Wenn ein Ausdruck eine Mehrdeutigkeit zulässt, ist man gut beraten, ihn streng nach PEMDAS zu interpretieren, anstatt mehrere widersprüchliche Lösungen nach unterschiedlichen Konventionen zuzulassen oder den Ausdruck gleich als undefiniert zu deklarieren.

Die Frage beantwortet Howard Ludwig in seinem sehr ausführlichen Kommentar aus dem ich oben nur wenige Absätze zitiert habe, Link siehe ebenfalls oben. Die Lektüre kann ich sehr empfehlen.

Ich werde mir keinesfalls die Mühe machen, den Kommentar ins Deutsche zu übersetzen oder einen inhaltsgleichen Artikel unter Verwendung eigener Formulierungen zu erstellen (dazu bin ich in der Vergangenheit hier auf scienceblogs.de häufig aufgefordert worden).
#55 bote
8. August 2019

schlappohr
Der Bruchstrich ist die halbe Miete.
Auch Physikgleichungen mit negativen Exponenten sind unübersichtlich und eine Quelle von Fehlern.
Gegen Dezimalzahlen in Brüchen habe ich nichts einzuwenden.
#56 rolak
8. August 2019

oder mit Klammern

Wenn MalEbenSchreiben und nicht SchönSchreiben angesagt ist sogar ohne ‘oder’, schlappohr, seit der Mittelstufe. Nicht bei TeX, doch bei Tafel oder Zettel mit ihrer Tendenz zu schlechterer Lesbarkeit wurde unabhängig von der Art des Bruchstriches jeder Nenner mit mehr als einem Element in Klammern notiert.
Ganz analog zu TextMakros, safety first.
#57 Uli Schoppe
8. August 2019

@schlappohr
Ganz ehrlich? Wenn man was als Bruch schreiben kann während man was umformt ist das megapraktisch. Selbst wenn du nur vor ner CNC Maschine stehst. Wenn du da mal beim Programmieren Rundungsfehler mitgeschleppt hast und die Maschine behauptet die Kontur geht nicht zu wegen der maximal zulässigen Abweichung findet man Brüche wieder toll Selbst beim Geocachen hab ich das schon gesehen bei der Koordinatenberechnung. So 30 40 Meter wie nix… ☺️
#58 Uli Schoppe
8. August 2019

Und @schlappohr der Term erschien mir wirklich erst wie ein schlampig hingeschriebener Bruch. Was im Ergebnis schon was ausmacht
#59 Karl Mistelberger
mistelberger.net
8. August 2019

> #56 rolak, 8. August 2019
>> oder mit Klammern
> Wenn MalEbenSchreiben und nicht SchönSchreiben angesagt ist sogar ohne ‘oder’, schlappohr, seit der Mittelstufe. Nicht bei TeX, doch bei Tafel oder Zettel mit ihrer Tendenz zu schlechterer Lesbarkeit wurde unabhängig von der Art des Bruchstriches jeder Nenner mit mehr als einem Element in Klammern notiert.
Ganz analog zu TextMakros, safety first.

qalc erlaubt eine Formeleingabe mit Interpretation in der Ausgabe:

karl@erlangen:~> qalc
> 8:2(2+2)

(482 / 60) * (2 + 2) = approx. 32,133333

> 8/2(2+2)

8 / (2 * (2 + 2)) = 1

> 8/2*(2+2)

(8 / 2) * (2 + 2) = 16

> quit
karl@erlangen:~>
#60 Retrox
Sumpf
8. August 2019

Also ich hab inne Schule und von Opa gelernt: _Zuerst_ die Klammern auflösen. Also isses 1. Fertig.
#61 nouse
9. August 2019

Also, ich finde es relativ befremdlich, wenn Kommentator*innen immer noch denken, nur dumme Menschen könnten den Term nicht korrekt auflösen.

Das ist nicht das erste Mal, daß a/b(c+d) im Netz für Diskussionen sorgt.
Die Kurzversion ist, daß der Term schlampig notiert ist, und aufgrund seiner Uneindeutigkeit so nicht verwendet werden sollte.
Die Langversion findet Ihr hier auf stackexchange:
https://math.stackexchange.com/questions/33215/what-is-48%C3%B7293
und auf quora:
https://www.quora.com/Can-you-help-me-find-the-right-answer-to-this-question-8-%C3%B7-2-4-2/answer/Howard-Ludwig?ch=10&share=66f22788&srid=uJoTO

Ganz kurz runtergebrochen: Trolling.
#62 regelrudi
9. August 2019

nouse,
sieh es mal positiv. Mir ist bei der Aufgabe zum ersten Mal bewusst geworden, wie schlampig ich mit der korrekten Schreibweise umgehe. Stell dir mal vor, das macht ein Programmierer, der das Landeprogramm einer Mondfähre schreibt. Zwischen 1m und 16m ist ein gewaltiger Unterschied. Man sollte mal untersuchen, wieviel Abstürze auf die Rechnung falscher Programmierung gehen.
#63 tomtoo
9. August 2019

@regelrudi/bote
Nun wenn ein Programmierer sowas vorgesetzt bekommt z.B als Teil einer Businesslogik die er ja nicht unbedingt kennen oder verstehen muss, gehe ich davon aus dass er Rücksprache hält, wie das ganze zu interpretieren ist.
#64 Ulf
9. August 2019

> Das Ergebnis ist natürlich 16
Das stimmt nicht.

Das Ergebnis ist mathematisch korrekt 16
Das stimmt

Wenn es so viel Disskusion darüber gibt ob 8/2a vielleicht 4/a ist oder doch 4a dann, kann man nicht darüber reden das es natürlich ist. Mathematisch korrekt ja, aber nicht natürlich.
#65 Braunschweiger (DE)
9. August 2019

ad Wolfram Alpha:
@tomtoo, lass dich nicht übers Ohr hauen.
Wolfram Alpha rechnet auch richtig (nach dem, was man wollte oder für richtig hält), wenn man den dafür korrekten Operator verwendet. Offenbar gibt es Unterschiede zwischen “:” und “/” und übrigens auch “\”, wie weiter oben schon diskutiert.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=8+%2F+2+*+(2+%2B+2)
#66 user unknown
https://demystifikation.wordpress.com/
11. August 2019

@Engywuck:

Was ist das Ergebnis von x = 3; y= x++ * ++x

Und welche Sprache soll das sein?
C++? Das ergibt einen Syntaxfehler, wenn ich noch up to date genug bin, denn es fehlt ein Semikolon.
Mit Semikolon wäre es dann undefiniert, soweit ich weiß, aber aus ästhetischen Gründen hätte man hier y = x++ + ++x; wählen sollen, oder besser noch -x– – –x;

Spontan habe ich ja auch der Lösung 1 zugeneigt, aber mathematisch korrekt ist wohl die 16.

@Herr Senf

Ganz lustig wird die Schreibweise 8 / 2*(2+2) “wegen Punkt vor Strich”. Nämlich
der Schrägstrich “/” als Divisionszeichen (:) suggeriert einen Bruch, dann wird’s “1”.

Suggerieren tun Sie ja auch ganz massiv, mit den Leerzeichen um den Divisionsstrich aber ohne solche um Multiplikationsstern und Pluszeichen.

8 / 2*(2+2)
8 / 2 * (2 + 2)

Wenn die Prämisse nicht ist, dass man reingelegt werden soll, dann ist es nicht sinnlos auf solche subtilen Botschaften zu achten und lieber mal nachzufragen.
#67 Engywuck
12. August 2019

Kommazahlen in Formeln implizieren, dass schon gerundet wurde, das Ergebnis also nicht genauer sein kann

sin(x + 3.14*y) ist damit was anderes als sin(x + (314/100)*y) oder gar sin(x + π*y)
#68 Laie
16. August 2019

Ich sehe hier nicht einen Therm der gelöst werden soll, sondern die Lösung eines Therms:
8:ab+ac mit a = b = c
=8:a(bc)
=8:2(2+2)
dann ist das weglassen des malzeichens korrekt
Liege ich falsch?
#69 Laie
16. August 2019

Korrektur (sorry): muss natürlich 8:a(b+c) heissen
Damit die Lösung 8:2(2+2) ist
#70 Stephan
24. Juli 2024

Nee, Thilo, das Ergebnis ist ganz selbstverständlich 1. Wie kommt man auf die wahnwitzige Idee, daß die Klammer mittels Multiplikation mit der 8 verbunden auf dem Bruchstrich sitzt???