Theorema Magnum MDCCCXC: der Wiederkehrsatz von Poincaré

Friedrich Nietzsche entwickelte in den 80er Jahren des 19. Jahrhunderts den Gedanken der ewigen Wiederkunft des immer gleichen. Nach allem, was man weiß, war er dabei nicht von der Mathematik beeinflußt. Trotzdem klingt seine Argumentation ziemlich genau wie der Beweis, mit dem Henri Poincaré dann den Wiederkehrsatz bewies und damit aus heutiger Sicht den Beginn der Ergodentheorie markierte – noch bevor es überhaupt eine mathematische Maßtheorie gab.

Der Wiederkehrsatz in Poincarés Formulierung besagt, dass ein mechanisches System (im Sinne der Hamiltonschen Mechanik) jedes beliebig kleine Gebiet unendlich oft durchläuft, vorausgesetzt es bleibt insgesamt in einem beschränkten Gebiet. Statt von einem beliebig kleinen Gebiet würde man heute von einer offenen Menge sprechen und man formuliert den Satz heute so, dass für jede Menge E fast alle Punkte aus E nach E zurückkehren.
Mit den Begriffen der Maßtheorie kann man den letzteren Satz in einer Zeile beweisen. Bezeichne mit T die Zeit-1-Abbildung des Hamiltonschen Flusses. Punkte, die zum Zeitpunkt n nach E zurückkehren, gehören zu T^-nE. Punkte aus E, die nie zurückkehren, sind also die gerade die Punkte der Mengendifferenz . Diese bilden aber eine Nullmenge, weil T^-1 volumenerhaltend und ist.
(Hier braucht man natürlich, dass das Gesamtvolumen endlich ist: nur deshalb ist das Volumen der Differenzmenge gleich der Differenz der Volumina. Es war zu Poincarés Zeit bereits bekannt, dass der Hamiltonschen Fluß das Volumen im Phasenraum erhält: die Volumenänderungsrate eines Flusses ist die Divergenz des zugehörigen Vektorfelds, und für den Hamiltonfluss folgt unmittelbar aus den Hamilton-Gleichungen, dass die Divergenz des Vektorfelds verschwindet. Der Wiederkehrsatz kommt in Poincarés Arbeit explizit als Anwendung der Volumeninvarianz vor in einem Kapitel über Anwendungen invarianter Integrale.)

Der damals übliche Zugang zu Differentialgleichungen bestand eigentlich darin, entweder hinreichend viele Erhaltungsgrößen zu finden - so hatte Sofia Kowalewskaja die Kreiselgleichungen gelöst - oder Reihenentwicklungen anzusetzen und die sich ergebenden Gleichungen für deren Koeffizienten zu lösen. Karl Weierstraß hatte für das n-Körperpoblem eine trigonometrische Reihe angesetzt, war dann aber auf das Problem gestoßen, dass bei der Berechnung der Koeffizienten Brüche vorkamen, deren Nenner beliebig klein werden konnten. Es mußten also auch die Zähler beliebig klein werden. Damit die gesamte Reihe konvergiert, mußten die Zähler sogar noch viel kleiner sein als die Nenner. (Dieses Problem der kleinen Nenner wurde erst in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts von Kolmogorow, Arnold und Moser gelöst.)

Poincaré hatte als erster mit einer qualitativen (topologischen) Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen begonnen. Für Flüsse in der Ebene hatte er herausgefunden, wenn eine Bahn für alle Zeiten in einer beschränkten Teilmenge verbleibt, die keine Fixpunkte des Flusses enthält, dann ist sie entweder periodisch oder ein "Grenzzyklus", der sich asymptotisch einer periodischen Bahn annähert. (Im Bild links gibt es einen Fixpunkt, im Bild rechts sogar zwei. In der Mitte hat man Grenzzykel und eine periodische Bahn. Nach dem Beweis durch Ivar Bendixsson heißt der Satz heute Satz von Poincaré-Bendixsson.)

Es stellte sich heraus, dass im dreidimensionalen alles viel komplizierter war.

Das Dreikörperproblem hat a priori 18 Parameter im Phasenraum - 3 Orts- und 3 Impulskoordinaten für jeden der Körper, die man über geeignete Koordinatenwahl sowie mit den Erhaltungsgrößen Energie, Impuls, Drehimpuls auf 8 Parameter reduzieren kann. Weitere Erhaltungsgrößen gibt es aber nicht, wie Heinrich Bruns 1887 bewiesen hatte. Poincare betrachtete den Spezialfall, dass die Masse des dritten Körpers vernachlässigbar ist im Vergleich zu den Massen der beiden anderen. Weiterhin sollten sich die beiden schweren Körper auf einer Kreisbahn bewegen und die drei Körper sich in derselben Ebene befinden. Durch die Wahl eines rotierenden Koodinatensystems kommt man dann mit 3 Parametern aus.

Weil die Masse des dritten Körpers vernachlässigbar ist, kann man dieses System als Störung des Zweikörperproblems betrachten. Dessen exakte Lösung war lange bekannt, denn sie läßt sich aus den Keplerschen Gesetzen herleiten: die Planeten bewegen sich auf Ellipsen um die Sonne. Tatsächlich hat man in diesem Fall genug Erhaltungsgrößen, so dass die Bahnen schon durch die Erhaltungsgrößen festgelegt sind. (Das System ist "integrierbar".) Dabei werden natürlich die Anziehungskräfte zwischen den Planeten vernachlässigt. Die sind auch klein genug, dass für astronomisch kurze Zeiträume dieser Fehler nicht ins Gewicht fällt. Es stellt sich aber die Frage, ob das Sonnensystem auch für lange Zeiträume noch stabil bleibt.

Wenn man die Masse des dritten Körpers gleich Null setzt, hat man zwei Zweikörperprobleme und die Bahnen sind also Ellipsen, insbesondere periodisch. Poincaré bewies, dass man auch für das geringfügig gestörte System wieder periodisch oder zumindest quasi-periodische (auf einem Torus verlaufende) Lösungen hat. Zu einer periodischen Bahn (bzw. einem Fixpunkt der auf einer Transversalen definierten Poincaré-Abbildung9 betrachtete er die stabile und instabile Mannigfaltigkeit. Die Punkte der stabilen Mannigfaltigkeit konvergieren unter Vorwärtsiteration gegen die periodische Bahn, die Punkte der instabilen Mannigfaltigkeit unter Rückwärtiteration. Er ging wohl zunächst davon aus, dass diese beiden Mannigfaltigkeiten geschlossene Flächen sind und übereinstimmen, woraus die Stabilität des Systems gegenüber geringfügigen Störungen folgen würde. Dann stellte er aber fest, dass es im dreidimensionalen viel komplizierter sein kann: die stabile und instabile Mannigfaltigkeit können sich transversal schneiden.

Weil beide Mannigfaltigkeiten invariant sind, muß es dann sogar unendlich viele Schnittpunkte geben, die beliebig dicht an den Fixpunkt herankommen. Man bekommt ein Netz wie im Bild oben. Wegen der Erhaltung des Volumens müssen die immer näher an den Fixpunkt herankommenden Teile sich immer stärker auffalten. "Man ist betroffen von der Komplexität dieses Bildes, das ich nicht einmal versuchen werde zu zeichnen." schrieb Poincaré. In heutiger Notation bekommt man ein Hufeisen.