The classical theory of partial differential equations is rooted in physics, where equations (are assumed) to describe the laws of nature. Law abiding functions, which satisfy such an equation, are very rare in the space of all admissible functions (regardless of a particular topology in a function space).
Moreover, some additional (like initial or boundary) conditions often insure the uniqueness of solutions. The existence of these is usually established with some a priori estimates which locate a possible solution in a given function space. We deal in this book with a completely different class of partial differential equations (and more general relations) which arise in differential geometry rather than in physics. Our equations are, for the most part, underdetermined (or, at least, behave like those) and their solutions are rather dense in spaces of functions. (M. Gromov in der Einleitung zu “Partial Differential Relations”)
De Lellis und Szekelyhidi konnten Scheffers Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen später in eine auf konvexer Integration beruhende allgemeine Theorie einordnen, die sich auch auf andere Gleichungen anwenden ließ. Damit wurde diese jedenfalls Teil einer allgemeinen mathematischen Theorie und waren nicht mehr ein isoliertes Phänomen. Man hat bei den unphysikalischen Lösungen dieselbe Nichteindeutigkeit (oder Flexibilität) wie bei den von Gromov behandelten geometrischen Problemen, sobald dort die Regularitätsbedingungen hinreichend abgeschwächt werden. Unklar blieb freilich, ob diese Lösungen eine physikalische Bedeutung haben.
… und letztlich auch in die Physik.
Neben dem Ansatz über die Navier-Stokes-Gleichung gibt es die von André Kolmogorow entwickelte statistische Theorie der Turbulenz. Mit dieser sollte das Problem aufgelöst werden, dass – nach physikalischen und numerischen Experimenten – für
verhalten muß. Die Annahmen dieses Arguments sind völlig unbewiesen, die Folgerungen jedoch kompatibel mit Experimenten und Simulationen.
Der Physikochemiker Lars Onsager hatte acht Jahre nach Kolmogorows Arbeit auf eine mutmaßliche Konsequenz hingewiesen. Weil man im Grenzfall für
Die Arbeiten von de Lellis und Szekelyhidi mit verschiedenen Koautoren, insbesondere Buckmaster, Isett und Vicol, kulminierten jetzt in einem Resultat, dass der vor mehr als sechzig Jahren von Onsager vorhergesagten anormalen Dissipation schwacher Lösungen als Konsequenz einer Energiekaskade eine mathematisch präzise Form gibt. Für schwache Lösungen, die die Hölder-Stetigkeitsbedingung $latex \vert v(x,t)-v(y,t)\vert <\vert x-y\vert^\alpha $ mit α>1/3 erfüllen, ist die Energie E(t) konstant – das war schon lange bekannt. Das neue Resultat, welches Isett jetzt mit der richtigen Skalierung bewies, besagt: wenn die Hölder-Stetigkeitsbedingung mit α<1/3 erfüllt ist, dann gibt es Lösungen, für die E(t) streng fallend ist. Das ist das von Onsager vorhergesagte Phänomen und es entspricht dem, was Physiker in Experimenten beobachten.
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